Question

【题目】在圆O中，弦AB与CD相交于点E，且弧AC与弧BD相等．点D在劣弧AB上，联结CO并延长交线段AB于点F，联结OA、OB．当OA＝，且tan∠OAB＝．

（1）求弦CD的长；

（2）如果△AOF是直角三角形，求线段EF的长；

（3）如果S△CEF＝4S△BOF，求线段AF的长．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）或；（3）2+

【解析】

（1）如图，过点O作OH⊥AB于点H，由锐角三角函数可求OH＝1，AH＝2，由垂径定理可得AB＝4，即可求CD＝4

（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；

（3）先利用面积关系得出，进而利用△OAF∽△EFC得出比例式，即可得出结论．

解：（1）如图，过点O作OH⊥AB于点H，

∵tan∠OAB＝，

∴设OH＝a，AH＝2a，

∵AO2＝OH2+AH2＝5，

∴a＝1，

∴OH＝1，AH＝2，

∵OH⊥AB，

∴AB＝2AH＝4，

∵弧AC＝弧BD

∴，

∴AB＝CD＝4；

（2）∵OA＝OB，

∴∠OAF＝∠OBA，

∴∠OAF＝∠ECF，

①当∠AFO＝90°时，

∵OA＝，tan∠OBA＝，

∴OC＝OA＝，OF＝1，AB＝4，

∴EF＝CFtan∠ECF＝CFtan∠OBA＝；

②当∠AOF＝90°时，

∵OA＝OB，

∴∠OAF＝∠OBA，

∴tan∠OAF＝tan∠OBA＝，

∵OA＝，

∴OF＝OAtan∠OAF＝，

∴AF＝，

∵∠OAF＝∠OBA＝∠ECF，∠OFA＝∠EFC，

∴△OFA∽△EFC，

∴，

∴EF＝，

即：EF＝或；

（3）如图，连接OE，

∵∠ECB＝∠EBC，

∴CE＝EB，

∵OE＝OE，OB＝OC，

∴△OEC≌△OEB，

∴S△OEC＝S△OEB，

∵S△CEF＝4S△BOF，

∴S△CEO+S△EOF＝4（S△BOE﹣S△EOF），

∴，

∴，

∴FO＝，

∵△OFA∽△EFC，

∴，

∴BF＝BE﹣EF＝CE﹣EF＝EF，

∴AF＝AB﹣BF＝4﹣EF，

∵△OAF∽△EFC，

∴，

∴，

∴EF＝3﹣，

∴AF＝4﹣EF＝2+．