Question

【题目】在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2-bx+c的图象经过点A，点B（1，0）和点C（0，3）．点D是抛物线的顶点．

（1）求二次函数的解析式和点D的坐标

（2）直线y=kx+n（k≠0）与抛物线交于点M，N，当△CMN的面积被y轴平分时，求k和n应满足的条件

（3）抛物线的对称轴与x轴交于点E，将抛物线向下平移m（m＞0）个单位，平移后抛物线与y轴交于点C′，连接DC′，OD，是否存在OD平分∠C′DE的情况？若存在，求出m的值；若不荐在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3，点D（-1，4）；（2）k=-2，n＜3；（3）存在，m=．

【解析】

（1）利用待定系数法求得解析式，利用二次函数的顶点坐标公式即可求得点D的坐标；

（2）联立直线与抛物线的解析式得出关于x的一元二次方程，根据要使y轴平分△CMN的面积，则M、N两点的横坐标互为相反数，根据根与系数的关系即可得出k值；再根据而点H在点C之下这一条件，可得出n的取值范围；

（3）解答本类题目的总体思路在于先假设存在，若能求出m的值则假设成立，否则不成立；若存在，首先根据角平分线的性质，得出OH= 1，DH= 4；进而设HG=a，由△DOG的面积建立关于a的方程组，解之可得点G的坐标，进而求出直线DG的表达式和OC′，与OC作差，即可求出m的值，说明存在OD平分∠C′DE的情况.

（1）y=-x2-bx+c=-x2-bx+3，将点B坐标代入上式得：0=-1-b+3，

解得：b=2，

故抛物线的表达式为：y=-x2-2x+3，

则点A（-3，0）、点D（-1，4）；

（2）设点M、N的横坐标为x1、x2，

当△CMN的面积被y轴平分时，则x1+x2=0，

将二次函数表达式与直线表达式联立并整理得：

x2+（2+k）x+（n-3）=0，

x1+x2=-（2+k）=0，即k=-2，

而点H在点C之下，故n＜3，

故：k=-2，n＜3；

（3）存在，理由：

OD平分∠C′DE，即：∠EDO=∠ODC′，

延长DC′交x轴于点G，过点O作OH⊥DG交于H，

∵∠EDO=∠ODC′，

∴OH=OE=1，DH=DE=4，

设HG=a，则OG=，

S△DOG=OG×DE=OH×GD，

即：4=1×（4+a），

解得：a=，即点G（，0），

∴直线DG的表达式为：y=-x+，

即OC′=，

m=3-=．