Question

【题目】在平面直角坐标系中，点，，过点作直线，

（1）若，点是线段的中点，点在射线上，当是边长为5的等腰三角形，共有几个这样的点，并尝试求出点的坐标；

（2）若直线与不平行，在直线上，是否存在点，使得是直角三角形，且，若存在，求出这样的点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) P1（3,4）,P2（2,4）,P3（8,4）;(2) P1（1,3）,P2（8,-4）．

【解析】

（1）根据题意分PD＝OD时，和 OP＝OD，设P（x,4）根据两点之间的距离公式即可求解；

（2）如图，设出点P的坐标，过点P作PH⊥OC于点H，由△OPH∽△PCH得到建立方程求解．

（1）∵点是线段的中点，

∴D（5，0）

如图，①当PO＝OD＝5时，设P（x,4）

∴25=x2+42

解得x=3（-3舍去）

∴P1（3,4）

②当PD＝OD＝5时，设P（x,4）

∴25=（x-5）2+42

解得x1=2,x2=8

∴P2（2,4）,P3（8,4）

∴点的坐标是P1（3，4），P2（2，4），P3（8，4）；

（2）设点P的坐标为（a，a＋4），过点P作PH⊥OC于点H，

∵∠OPC＝90°，，

∴△OPH∽△PCH．

∴即PH2＝OH×CH．

∴（a＋4）2＝a（10a），

∴a28a＋16＝10aa2，

∴2a218a＋16＝0，解得a1＝1，a2＝8．

∴P1（1，3），P2（8，4）．

即存在点P（1，3）或（8，4）．