Question

已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．

（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，﹣1），求点C的坐标；

（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请直接写出线段OA、OD、CD之间等量关系；

（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形．

【分析】（1）如图1，过点C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，则四边形CDOE为矩形，证明△ABO≌△BCD，得到BO=CD=1，OA=DB=3，即可确定C的坐标；

（2）OA=OD+CD；证明△ABO≌△BCD，得到BO=CD，OA=DB，即可解答；

（3）AE=2CF，如图3，延长CF，AB相交于G，证明△AFC≌△AFG，得到CF=GF，再证明△ABE≌△CBG，得到AE=CG，即可解答．

【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥y轴，CE⊥x轴，则四边形CDOE为矩形，

∵A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，﹣1），

∴OA=3，OB=1，

∵CD⊥y轴，

∴∠CDB=90°，∠DCB+∠CBD=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBD=90°，

∴∠ABO=∠DCB，

在△ABO和△BCD中，

∴△ABO≌△BCD，

∴BO=CD=1，OA=DB=3，

∴DO=BO+BD=4，EO=CD=1

∴C（﹣1，4）；

（2）OA=OD+CD；

∵CD⊥y轴，

∴∠CDB=90°，∠DCB+∠CBD=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBD=90°，

∴∠ABO=∠DCB，

在△ABO和△BCD中，

∴△ABO≌△BCD，

∴BO=CD，OA=DB，

∵BD=OB+OD，

∴OA=CD+OD．

（3）AE=2CF，

如图3，延长CF，AB相交于G，

证明CF=FG，△ABE≌△CBG．

∵x轴恰好平分∠BAC，

∴∠CAF=∠GAF，

∵CF⊥x轴，

∴∠AFE=∠AFG=90°，

在△AFC和△AFG中，

∴△AFC≌△AFG，

∴CF=GF，

∵∠AEB=∠CEF，∠ABE=∠CFE=90°，

∴∠BAE=∠BCG，

在△ABE和△CBG中，

∴△ABE≌△CBG，

∴AE=CG，

∴AE=CF+GF=2CF．

【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段．