Question

【题目】如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，且tan.设抛物线的顶点为，对称轴交轴于点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）为抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，且.

①当点在线段(含端点)上运动时，求的变化范围；

②当取最大值时，求点到线段的距离；

③当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①②2③

【解析】

（1）由解析式可知点A（-2，0），点B（6,0）根据，可得OC=3，即点C（0,3），代入解析式即可求a.

（2）①由解析式求得顶点M(2,4)，设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），利用勾股定理将PC、PQ、CQ用含m，n的式子表示，再利用△PCQ为直角三角形，可利用勾股定理得PC2+PQ2=CQ2，将含m，n的式子代入整理可得一个关于m，n的二次函数，且0≤m≤4，通过二次函数增减性可求得n取值范围.

②当n取最大值4时，m=4，可得点P（2,4），Q（4,0），故可求得PC=，PQ=2，CQ=5，利用直角三角形等面积法可求得点到线段CQ距离

③由题意求得线段的解析式为：，故可设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，此时可求对应的点的纵坐标为，进而求得此时t值，当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，联解抛物线与CQ’的解析式并化简得一元二次方程，有一个交点可知由，得此时t值，即可解题.

解：（1）根据题意得：,，

在中

，且,

∴，

,将点坐标代入得：，

故抛物线解析式为：；

（2）①由（1）知，抛物线的对称轴为：x=2，顶点M(2,4)，

设P点坐标为（2，m）（其中0≤m≤4），

则PC2=22+(m-3)2，PQ2=m2+(n-2)2，CQ2=32+n2，

∵PQ⊥PC，

∴在Rt△PCQ中中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2,

即22+(m-3)2+ m2+(n-2)2=32+n2，整理得：

n==（0≤m≤4），

∴当时，n取得最小值为；当时，n取得最大值为4，

∴≤n≤4；

②由①知：当n取最大值4时，m=4，

∴P（2,4），Q（4,0）

则PC=，PQ=2，CQ=5，

设点P到线段CQ距离为，

由，

得：

故点到线段距离为；

③由②可知：当取最大值4时，，

线段的解析式为：，

设线段向上平移个单位长度后的解析式为：，

当线段向上平移，使点恰好在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点

此时对应的点的纵坐标为：，

将代入得：，

当线段继续向上平移，线段与抛物线只有一个交点时，

联解

得：，化简得：

，

由，得，

当线段与抛物线有两个交点时，.