Question

【题目】点E、F分别是□ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF＝60°，AF＝4

(1) 若AB＝2，点E与点B、点F与点D分别重合，求平行四边形ABCD的面积

(2) 若AB＝BC，∠B＝∠EAF＝60°，求证：△AEF为等边三角形

(3) 若BE＝CE，CF＝2DF，AB＝3，直接写出AE的长度（无需解答过程）

Answer 1

【答案】（1）4 （2）证明见解析（3）

【解析】

（1）先求出∠ABH=30°，进而求出BH，最后用平行四边形的面积公式即可得出结论；

（2）先判断出∠BAE=∠CAF，进而判断出△ABE≌△ACF，即可得出结论；

（3）先利用倍长中线判断出AE=PE，PC=AB=CD=3，CF=2DF，进而利用含30度角的直角三角形的性质求出AG、FG的长，进而用勾股定理求出PG的长即可得出结论．

（1）如图1，

过点B作BH⊥AD于H，

在Rt△ABH中，∠BAD=60°，

∴∠ABH=30°，

∵AB=2，

∴AH=1，BH=，

∴S平行四边形ABCD=ADBH=4；

（2）如图2，连接AC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∵∠B=∠EAF=60°，

∴∠BAD=120°，

在ABCD中，AB=BC，

∴ABCD是菱形，

∵AC是菱形对角线，

∴∠ACD=∠BAC=60°=∠B，

∴AB=AC，

∴∠BAE=∠CAF，

在△ABE和△ACF中，，

∴△ABE≌△ACF，

∴AE=AF，

∵∠EAF=60°，

∴△AEF为等边三角形；

（3）如图3，延长AE交DC延长线于P，过点F作FG⊥AP与G，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠C=∠ECP，

∵BE=CE，∠AEB=∠PEC，

∴△ABE≌△PCE，

∴AE=PE，PC=AB=CD=3，CF=2DF，

∴CF=2，

∴PF=5，

在Rt△AFG中，AF=4，∠EAF=60°，

∴∠AFG=30°

∴AG=2，FG=2，

在Rt△PFG中，PF=5，FG=2，∴PG=，

∴AP=AG+PG=2+，

∴AE=PE=AP=.