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【题目】如图,已知ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过BC向经过点A的直线EF作垂线,垂足为EF

1)如图1,当EF与斜边BC不相交时,请证明EF=BE+CF

2)如图2,当EF与斜边BC相交时,其他条件不变,写出EFBECF之间的数量关系,并说明理由;

3)如图3,猜想EFBECF之间又存在怎样的数量关系,写出猜想,不必说明理由.

【答案】1)证明见解析;(2) EF= BE-CF,理由见解析;(3EF=CF-BE,理由见解析.

【解析】

1)求出BEA≌△AFC,推出EA=FCBE=AF,即可得出答案;

2)求出BEA≌△AFC,推出EA=FCBE=AF,即可得出答案;

3)求出BEA≌△AFC,推出EA=FCBE=AF,即可得出答案.

1)证明:∵BEEACFAF

∴∠BAC=BEA=CFE=90°

∴∠EAB+CAF=90°,∠EBA+EAB=90°

∴∠CAF=EBA

ABECAF中,

∴△BEA≌△AFCAAS),

EA=FCBE=AF

EF=EA+AF=BE+CF

2)证明:∵BEEACFAF

∴∠BAC=BEA=CFE=90°

∴∠EAB+CAF=90°,∠ABE+EAB=90°

∴∠CAF=ABE

ABEACF中,

∴△BEA≌△AFCAAS),

EA=FCBE=AF

EF=AF-AE

EF=BE-CF

3EF=CF-BE

理由是:∵BEEACFAF

∴∠BAC=BEA=CFA=90°

∴∠EAB+CAF=90°,∠ABE+EAB=90°

∴∠CAF=ABE

ABEACF中,

∴△BEA≌△AFCAAS),

EA=FCBE=CF

EF=EA-AF

EF=CF-BE

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