【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过B,C向经过点A的直线EF作垂线,垂足为E,F.
(1)如图1,当EF与斜边BC不相交时,请证明EF=BE+CF;
(2)如图2,当EF与斜边BC相交时,其他条件不变,写出EF、BE、CF之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,猜想EF、BE、CF之间又存在怎样的数量关系,写出猜想,不必说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2) EF= BE-CF,理由见解析;(3)EF=CF-BE,理由见解析.
【解析】
(1)求出△BEA≌△AFC,推出EA=FC,BE=AF,即可得出答案;
(2)求出△BEA≌△AFC,推出EA=FC,BE=AF,即可得出答案;
(3)求出△BEA≌△AFC,推出EA=FC,BE=AF,即可得出答案.
(1)证明:∵BE⊥EA,CF⊥AF,
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°,
∴∠EAB+∠CAF=90°,∠EBA+∠EAB=90°,
∴∠CAF=∠EBA,
在△ABE和△CAF中,
∴△BEA≌△AFC(AAS),
∴EA=FC,BE=AF,
∴EF=EA+AF=BE+CF.
(2)证明:∵BE⊥EA,CF⊥AF,
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°,
∴∠EAB+∠CAF=90°,∠ABE+∠EAB=90°,
∴∠CAF=∠ABE,
在△ABE和△ACF中,
∴△BEA≌△AFC(AAS),
∴EA=FC,BE=AF,
∵EF=AF-AE,
∴EF=BE-CF.
(3)EF=CF-BE,
理由是:∵BE⊥EA,CF⊥AF,
∴∠BAC=∠BEA=∠CFA=90°,
∴∠EAB+∠CAF=90°,∠ABE+∠EAB=90°,
∴∠CAF=∠ABE,
在△ABE和△ACF中,
,
∴△BEA≌△AFC(AAS),
∴EA=FC,BE=CF,
∵EF=EA-AF,
∴EF=CF-BE.
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【题目】已知实数a、b、c满足a+b=ab=c,有下列结论:
①若c≠0,则;②若a=3,则b+c=9;
③若a=b=c,则abc=0;④若a、b、c中只有两个数相等,则a+b+c=8.
其中正确的是 (把所有正确结论的序号都选上).
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【题目】如图,在△ABC和△DCB中,∠BAC=∠CDB=90°,AB=DC,AC与BD交于点O.
(1)求证:△ABC≌△DCB.
(2)当∠DBC=30°,BC=6时,求BO的长.
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【题目】如图,直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B、C两点,OB:OC=.
(1)求B点的坐标和k的值.
(2)若点A(x,y)是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点,当点A运动过程中,试写出△AOB的面积S与x的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,当点A运动到什么位置时,△AOB的面积是.
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【题目】如图,在△ABC中,点D是BC边上的一点,∠B=50°,∠BAD=30°,将△ABD沿AD折叠得到△AED,AE与BC交于点F.
(1)填空:∠AFC=______度;
(2)求∠EDF的度数.
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【题目】如图,要测量河流的长,因为无法测河流附近的点,可以在线外任取一点,在的延长线上任取一点,连结和,并且延长到点,使;延长到点,使连结,并延长到点,使点,,在同一直线上.证明:测量出线段的长就是河流的长.
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【题目】如图所示,长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴,物体甲和物体乙分别由点A(2, 0)同时出发,沿长方形BCDE的边作环绕运动,物体甲按逆时针方向以1个单位长度秒匀速运动,物体乙按顺时针方向以2个单位长度秒匀速运动,则两个物体运动后的第2020次相遇点的坐标是( )
A.(2,0)B.(-1,-1)C.( -2,1)D.(-1, 1)
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【题目】如图,直线y=﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B,与直线y=x相交于点A.
(1)求A点坐标;
(2)求△OAC的面积;
(3)如果在y轴上存在一点P,使△OAP是以OA为底边的等腰三角形,求P点坐标;
(4)在直线y=﹣2x+7上是否存在点Q,使△OAQ的面积等于6?若存在,请求出Q点的坐标,若不存在,请说明理由.
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