【题目】已知:如图,在梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,BD平分∠ABC,∠A=60°.
求:(1)求∠CDB的度数;
(2)当AD=2时,求对角线BD的长和梯形ABCD的面积.
【答案】:(1) 30;(2).
【解析】分析:
(1)由已知条件易得∠ABC=∠A=60°,结合BD平分∠ABC和CD∥AB即可求得∠CDB=30°;
(2)过点D作DH⊥AB于点H,则∠AHD=30°,由(1)可知∠BDA=∠DBC=30°,结合∠A=60°可得∠ADB=90°,∠ADH=30°,DC=BC=AD=2,由此可得AB=2AD=4,AH=,这样即可由梯形的面积公式求出梯形ABCD的面积了.
详解:
(1) ∵在梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,∠A=60°,
∴∠CBA=∠A=60,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CDB=∠ABD=∠CBA=30,
(2)在△ACD中,∵∠ADB=180–∠A–∠ABD=90.
∴BD=AD A=2tan60=2.
过点D作DH⊥AB,垂足为H,
∴AH=ADA=2sin60=.
∵∠CDB=∠CBD=∠CBD=30,
∴DC=BC=AD=2
∵AB=2AD=4
∴.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;
(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)
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【题目】已知二次函数>0)的对称轴与x轴交于点B,与直线l:交于点C,点A是该二次函数图像与直线l在第二象限的交点,点D是抛物线的顶点,已知AC∶CO=1∶2,∠DOB=45°,△ACD的面积为2.
(1) 求抛物线的函数关系式;
(2) 若点P为抛物线对称轴上的一个点,且∠POC=45°,求点P坐标.
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【题目】如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则CF的长为________
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【题目】探索与发现
(1)正方形ABCD中有菱形PEFG,当它们的对角线重合,且点P与点B重合时(如图1),通过观察或测量,猜想线段AE与CG的数量关系,并证明你的猜想;
(2)当(1)中的菱形PEFG沿着正方形ABCD的对角线平移到如图2的位置时,猜想线段AE与CG的数量关系,只写出猜想不需证明.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过点A、C,点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图,当CP//AO时,求∠PAC的正切值;
(3)当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时,求出此时点P的坐标.
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【题目】将正整数1至2019按照一定规律排成下表:
记aij表示第i行第j个数,如a14=4表示第1行第4个数是4.
(1)直接写出a35= ,a54= ;
(2)①若aij=2019,那么i= ,j= ,②用i,j表示aij= ;
(3)将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移,所覆盖的5个数之和能否等于2026.若能, 求出这5个数中的最小数,若不能请说明理由.
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【题目】已知图甲是一个长为,宽为的长方形,沿图甲中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形,然后按图乙的形状拼成一个正方形.
(1)求图乙中阴影部分正方形的边长(用含字母,的整式表示);
(2)请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积.
(3)观察图乙,并结合(2)中的结论,写出下列三个整式:,,之间的等量关系;
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若,,求的值.
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【题目】如图,已知平行四边形ABCD中,AC=BC,∠ACB=45°,将三角形ABC沿着AC翻折,点B落在点E处,联结DE,那么的值为________.
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