Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图，当CP//AO时，求∠PAC的正切值；

（3）当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的表达式为；（2）；（3）P点的坐标是.

【解析】分析：

（1）由题意易得点A、C的坐标分别为（-4，0），（0，4），将这两点坐标代入抛物线列出方程组，解得b、c的值即可求得抛物线的解析式；

（2）如下图，作PH⊥AC于H，连接OP，由已知条件先求得PC=2，AC=，结合S△ABC=S△OPC，可求得PH=，再由OA=OC得到∠CAO=45°，结合CP∥OA可得∠PCA=45°，即可得到CH=PH=，由此可得AH=，这样在Rt△APH中由tan∠PAC=即可求得所求答案了；

（3）如图，当四边形AOPQ为符合要求的平行四边形时，则此时PQ=AO=4，且点P、Q关于抛物线的对称轴x=-1对称，由此可得点P的横坐标为-3，代入抛物线解析即可求得此时的点P的坐标.

详解：

（1）∵直线y=x+4经过点A、C，点A在x轴上，点C在y轴上

∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4），

又∵抛物线过A，C两点，

∴

解得，

∴抛物线的表达式为；

（2）作PH⊥AC于H，

∵点C、P在抛物线上，CP//AO， C（0，4），A（-4，0）

∴P（-2,4），AC=，S△ABC=S△OPC，

∴PC=2，，

∴PH=，

∵A（﹣4，0），C（0，4），

∴∠CAO=45°.

∵CP//AO，

∴∠ACP=∠CAO=45°，

∵PH⊥AC，

∴CH=PH=，

∴.

∴；

（3）∵，

∴抛物线的对称轴为直线，

∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，

∴PQ∥AO，且PQ=AO=4．

∵P，Q都在抛物线上，

∴P，Q关于直线对称，

∴P点的横坐标是﹣3，

∵当x=﹣3时，，

∴P点的坐标是.