Question

【题目】已知二次函数＞0）的对称轴与x轴交于点B，与直线l：交于点C，点A是该二次函数图像与直线l在第二象限的交点，点D是抛物线的顶点，已知AC∶CO＝1∶2，∠DOB＝45°，△ACD的面积为2．

(1) 求抛物线的函数关系式；

(2) 若点P为抛物线对称轴上的一个点，且∠POC＝45°，求点P坐标.

Answer 1

【答案】（1）；(2) P1(－4，12) )， P2(－4，)

【解析】试题分析：（1）把抛物线解析式化为顶点式，可得对称轴为直线 x＝－2m，得到C的坐标，由∠DOB＝45°，得到BD=BO=2m，即可得到顶点D坐标．过A作AE⊥x轴于E，可求出A的坐标，由△ACD的面积为2，得到m=2，进一步求得顶点D的坐标，从而得到抛物线的解析式；

(2)过P作PM⊥OA于M，则有PM=OM，由直线OA的解析式为：，设M（n，），得到直线PM的解析式，进而得到P的坐标，因为PM=OM，由两点间的距离公式列方程，求出n的值，即可得到P的坐标．

试题解析：解：（1） ，∴对称轴为直线 x＝－2m，∴OB=2m，C(－2m，m)．∵∠DOB＝45°，∴BD=BO=2m，∴则顶点D（－2m，2m）．过A作AE⊥x轴于E．∵AC：CO＝1：2，∴EB：OB=1：2．∵OB=2m，∴EB=m，∴OE=3m，∴A（－3m，）．∵△ACD的面积为2，∴m·m＝2，解得：m＝±2 ．∵m＞0，∴m=2，∴ D（－4，4），∴，解得：a＝，∴．

(2) 如图，过P作PM⊥OA于M．∵∠POC=45°，∴PM=OM．∵直线OA的解析式为：，设M（n，），∴直线PM为，即：，当x=-4时，，∴P（-4，）．∵PM=OM，∴，解得：n=－8或n=，当n=－8时，=12，当n=时，=，∴P(－4，12) )或P(－4，) ．