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【题目】1)在正方形ABCD中,GCD边上的一个动点(不与CD重合),以CG为边在正方形ABCD外作一个正方形CEFG,连结BGDE,如图.直接写出线段BGDE的关系

2)将图中的正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转任意角度,如图,试判断(1)中的结论是否成立?若成立,直接写出结论,若不成立,说明理由;

3)将(1)中的正方形都改为矩形,如图,再将矩形CEFG绕点C按顺时针方向旋转任意角度,如图,若AB=aBC=bCE =kaCG=kb()试判断(1)中的结论是否仍然成立?并说明理由.

【答案】1BG=DE BG⊥DE(2)BG=DE BG⊥DE(3)BG⊥DE成立,BG=DE不成立,理由见解析.

【解析】

1)由正方形的性质得出BCCDCECG,∠BCD=∠ECG90°,由SAS证明△BCG≌△DCE,得出BGDE,∠CBG=∠CDE,延长BGDEH,由角的互余关系和对顶角相等证出∠CDE+∠DGH90°,由三角形内角和定理得出∠DHG90°即可;

2)由正方形的性质可得BCCDCECG,∠BCD=∠ECG90°,然后求出∠BCG=∠DCE,由SAS证明△BCG和△DCE全等,由全等三角形对应边相等可得BGDE,全等三角形对应角相等可得∠CBG=∠CDE,然后求出∠DOH90°,再根据垂直的定义证明即可;

3)根据矩形的性质证明△BCG∽△DCE,得到,根据相似三角形对应角相等可得∠CBG=∠CDE,然后求出∠DOH90°,再根据垂直的定义证明即可.

1)解:BGDEBGDE;理由如下:

∵四边形ABCD是正方形,四边形CEFG是正方形,

BCCDCECG,∠BCD=∠ECG90°,

在△BCG和△DCE中,

∴△BCG≌△DCESAS),

BGDE,∠CBG=∠CDE

延长BGDEH,如图所示:

∵∠CBG+∠BGC90°,∠DGH=∠BGC

∴∠CDE+∠DGH90°,

∴∠DHG90°,

BGDE

2)解:成立;理由如下:

∵四边形ABCD是正方形,四边形CEFG是正方形,

BCCDCECG,∠BCD=∠ECG90°,

∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG

即∠BCG=∠DCE

在△BCG和△DCE中,

∴△BCG≌△DCESAS),

BGDE,∠CBG=∠CDE

∵∠CBG+∠BHC90°,∠BHC=∠DHO

∴∠CDE+∠DHO90°,

在△DHO中,∠DOH180°(∠CDE+∠DHO)=180°90°=90°

BGDE. 

(3)BG⊥DE成立,BG=DE不成立. 

结合图说明如下:

四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,且AB=aBC=bCG=kbCE=ka(a≠bk0)

∠BCD=∠ECG=90°

∴∠BCG=∠DCE

∴△BCG∽△DCE. 

∠CBG=∠CDE

∵∠BHC=∠DHO∠CBG+∠BHC=90°

∴∠CDE+∠DHO=90°

∴∠DOH=90°

∴BG⊥DE

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