【题目】(1)在正方形ABCD中,G是CD边上的一个动点(不与C、D重合),以CG为边在正方形ABCD外作一个正方形CEFG,连结BG、DE,如图①.直接写出线段BG、DE的关系 ;
(2)将图①中的正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转任意角度,如图②,试判断(1)中的结论是否成立?若成立,直接写出结论,若不成立,说明理由;
(3)将(1)中的正方形都改为矩形,如图③,再将矩形CEFG绕点C按顺时针方向旋转任意角度,如图④,若AB=a,BC=b;CE =ka,CG=kb,()试判断(1)中的结论是否仍然成立?并说明理由.
【答案】(1)BG=DE, BG⊥DE;(2)BG=DE, BG⊥DE;(3)BG⊥DE成立,BG=DE不成立,理由见解析.
【解析】
(1)由正方形的性质得出BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°,由SAS证明△BCG≌△DCE,得出BG=DE,∠CBG=∠CDE,延长BG交DE于H,由角的互余关系和对顶角相等证出∠CDE+∠DGH=90°,由三角形内角和定理得出∠DHG=90°即可;
(2)由正方形的性质可得BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°,然后求出∠BCG=∠DCE,由SAS证明△BCG和△DCE全等,由全等三角形对应边相等可得BG=DE,全等三角形对应角相等可得∠CBG=∠CDE,然后求出∠DOH=90°,再根据垂直的定义证明即可;
(3)根据矩形的性质证明△BCG∽△DCE,得到,根据相似三角形对应角相等可得∠CBG=∠CDE,然后求出∠DOH=90°,再根据垂直的定义证明即可.
(1)解:BG=DE,BG⊥DE;理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,四边形CEFG是正方形,
∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°,
在△BCG和△DCE中,
,
∴△BCG≌△DCE(SAS),
∴BG=DE,∠CBG=∠CDE,
延长BG交DE于H,如图所示:
∵∠CBG+∠BGC=90°,∠DGH=∠BGC,
∴∠CDE+∠DGH=90°,
∴∠DHG=90°,
∴BG⊥DE;
(2)解:成立;理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,四边形CEFG是正方形,
∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG,
即∠BCG=∠DCE,
在△BCG和△DCE中,
,
∴△BCG≌△DCE(SAS),
∴BG=DE,∠CBG=∠CDE,
∵∠CBG+∠BHC=90°,∠BHC=∠DHO,
∴∠CDE+∠DHO=90°,
在△DHO中,∠DOH=180°(∠CDE+∠DHO)=180°90°=90°,
∴BG⊥DE.
(3)BG⊥DE成立,BG=DE不成立.
结合图④说明如下:
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,且AB=a,BC=b,CG=kb,CE=ka(a≠b,k>0),
,
∠BCD=∠ECG=90°.
∴∠BCG=∠DCE.
∴△BCG∽△DCE.
∴,∠CBG=∠CDE.
又∵∠BHC=∠DHO,∠CBG+∠BHC=90°,
∴∠CDE+∠DHO=90°.
∴∠DOH=90°.
∴BG⊥DE.
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【题目】如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c(a≠0)的顶点为C,交x轴于A、B两点,交y轴于点D.
(1)求抛物线的解析式;并直接写出点C的坐标.
(2)如图2,点P为直线BD上方抛物线上一点,作PE⊥BD于点E,AF⊥BD于点F若,请求出点P的坐标.
(3)如图3,M为线段AB上的一点,过点M作MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,若△DNM∽△BMD,请求出点M的坐标.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-4,0),对称轴为直线x=-1,下列结论:
①abc>0;
②2a-b=0;
③一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=-4,x2=1;
④当y>0时,-4<x<2.
其中正确的结论有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AB=3,点M,N分别在线段AC,AB上,将△ANM沿直线MN折叠,使点A的对应点D恰好落在线段BC上,若△DCM为直角三角形时,则AM的长为_____.
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【题目】如图,每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC和△A1B1C1在平面直角坐标系中位置如图所示.
(1)△ABC与△A1B1C1关于某条直线m对称,画出对称轴m.
(2)画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°所得的△A2B2C2.此时点A2的坐标为________;
求出点A1旋转到点A2的路径长.(结果保留根号)
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【题目】已知正方形ABCD,一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合,将此三角板绕A点旋转时,两边分别交直线BC、CD于M、N.
(1)当M、N分别在边BC、CD上时(如图1),求证:BM+DN=MN;
(2)当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时(如图2,图3),线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系,请直接写出结论;
(3)在图3中,作直线BD交直线AM、AN于P、Q两点,若MN=10,CM=8,求AP的长.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的.连接BE、CF相交于点D.
(1)求证:BE=CF.
(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.
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【题目】我们知道,一元二次方程x2=﹣1没有实数根,即不存在一个实数的平方等于﹣1.若我们规定一个新数“i”,使其满足i2=﹣1(即方程x2=﹣1有一个根为i).并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有运算律和运算法则仍然成立,于是有i1=i,i2=﹣1,i3=i2×i=(﹣1)×i=﹣i,i4=(i2)2=(﹣1)2=1,从而对任意正整数n,我们可以得到i4n+1=i4n×i=(i4)n×i=i,i4n+2=﹣1,i4n+3=﹣i,i4n=1.那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013+…+i2019的值为( )
A.0B.1C.﹣1D.i
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