Question

【题目】如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c（a≠0）的顶点为C，交x轴于A、B两点，交y轴于点D．

（1）求抛物线的解析式；并直接写出点C的坐标．

（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，作PE⊥BD于点E,AF⊥BD于点F若，请求出点P的坐标．

（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1），（1，4）；（2）（1，4）或（2，3）；（3）（，0）．

【解析】

（1）把点A、B代入解析式，利用待定系数法求解，即可得到答案；

（2）由，得到，然后求出直线BD的解析式，设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），则，即可求出点P的坐标；

（3）设M（a，0），证明△AMN∽△ABD，可得，再由△DNM∽△BMD，可得，得出关于a的方程，解方程即可得出答案．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（﹣1，0）B（3，0）

设解析式，

∴抛物线的解析式为：．

∴顶点C的坐标（1，4）；

（2）作PE⊥BD于点E，AF⊥BD于点F，

若，则，

∴S△PBD ＝ S△ABD＝×6＝3

过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，

∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3

∴D（0，3）．

设直线BD的解析式为y＝kx+n，

∴，解得：，

∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．

设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），

∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．

∵S△PBD＝S△PQD+S△PQB，

∴S△PBD＝×PQ×（3﹣m）＝PQ＝﹣m，

∵S△PBD＝3，

∴﹣m＝3．

解得：m1＝1，m2＝2．

∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．

（3）∵B（3，0），D（0，3），

∴BD＝＝3，

设M（a，0），

∵MN∥BD，

∴△AMN∽△ABD，

∴，即．

∴MN＝（1+a），DM＝＝，

∵△DNM∽△BMD，

∴，

∴DM2＝BDMN，

∴9+a2＝3（1+a）．

解得：a＝或a＝3（舍去）．

∴点M的坐标为（，0）．