Question

19． 如图，边长为1的正方形ABCD．
（1）画图：将正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB₁C₁D₁，边B₁C₁与CD交于点O；
（2）求四边形AB₁OD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和旋转的性质，B点的对应点B₁在AC上，C点的对应点C₁在AD的延长线上，然后画出D点的对应点D₁即可得到正方形AB₁C₁D₁；
（2）根据正方形的性质得AB=1，AC=$\sqrt{2}$，∠CAB=45°，∠DCA=45°，∠B=90°，再根据旋转的性质得∠B₁AB=45°，AB₁=AB=1，∠AB₁C₁=∠B=90°，于是可判断点B₁在AC上，△OB₁C为等腰直角三角形，所以CB₁=AC-AB₁=$\sqrt{2}$-1，然后利用四边形AB₁OD的面积=S_△ADC-S_△OB1C进行计算即可．

解答 解：（1）如图，正方形AB₁C₁D₁为所作；

（2）∵四边形ABCD为边长为1的正方形，
∴AB=1，AC=$\sqrt{2}$，∠CAB=45°，∠DCA=45°，∠B=90°，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB₁C₁D₁，
∴∠B₁AB=45°，AB₁=AB=1，∠AB₁C₁=∠B=90°，
∴点B₁在AC上，△OB₁C为等腰直角三角形，
∴CB₁=AC-AB₁=$\sqrt{2}$-1，
∴S_△OB1C=$\frac{1}{2}$•（$\sqrt{2}$-1）²=$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$，
∴四边形AB₁OD的面积=S_△ADC-S_△OB1C=$\frac{1}{2}$•1•1-$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了正方形的性质．