Question

【题目】已知O为坐标原点，抛物线与轴相交于点,.与轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，，，点A，C在直线上.

（1）求点C的坐标；

（2）当随着的增大而增大时，求自变量的取值范围；

（3）将抛物线向左平移个单位，记平移后随着的增大而增大的部分为P，直线向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求的最小值.

Answer 1

【答案】（0,3）或（0，－3）；若c=3，当y随x的增大而增大时，x≤－1；若c=－3，当y随x的增大而增大时，x≥1；

【解析】

试题（1）令x=0，求出点C的坐标，根据OC的距离为3得出点C的坐标；（2）根据＜0得出，异号，①、当C（0,3），把C（0,3）代入=－3x+t得出t的值，将A（，0）代入=－3x+3得出的值，根据，异号以及=4得出的值，然后将其代入二次函数解析式求出解析式，然后根据顶点式求出y随x增大而增大的x的取值范围；②当C（0，－3）时，用同样的方法进计算；（3）若c=3，则=－－2x+3=－+4，=－3x+3，向左平移n个单位后则解析式为：+4，则当x≤－1－n时，y随x的增大而增大，向下平移n个单位后则解析式为：=－3x+3－n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=－1－n，≥，然后求出n的取值范围；若c=－3，利用同样的方法进行计算，然后将所求的二次函数化成顶点式，求出最小值.

试题解析：（1）令x=0 则y=c ∴C（0，c） ∵OC的距离为3 ∴=3 即c=±3

∴C（0,3）或（0，－3）

（2）∵＜0 ∴，异号

①若C（0,3） 即c=3 把C（0,3）代入=－3x+t，则0+t=3 即t=3 ∴=－3x+3

把A（，0）代入=－3x+3，则－3+3=0 解得：=1

∴A（1,0） ∵，异号=1＞0 ∴＜0

∵=4 ∴=－3 则B（－3,0） 代入=+bx+3得：a=－1，b=－2

∴=－－2x+3=－+4，则当x≤－1时，y随x的增大而增大.

②若C（0,－3） 即c=－3 把C（0,－3）代入=－3x+t，则0+t=－3 即t=－3 ∴=－3x－3

把A（，0）代入=－3x－3，则－3－3=0 解得：=－1

∴A（－1,0） ∵，异号=－1＜0 ∴＞0

∵=4 ∴=3 则B（3,0） 代入=+bx+3得：a=1，b=－2

∴=－2x－3=－4，则当x≥1时，y随x的增大而增大.

综上所述：若c=3，当y随x的增大而增大时，x≤－1；若c=－3，当y随x的增大而增大时，x≥1.

（2）①若c=3，则=－－2x+3=－+4，=－3x+3

向左平移n个单位后则解析式为：+4 则当x≤－1－n时，y随x的增大而增大.

向下平移n个单位后则解析式为：=－3x+3－n

要使平移后直线与P有公共点，则当x=－1－n，≥

即≥－3（－1－n）+3－n 解得：n≤－1

∵n＞0 ∴n≤－1不符合条件，应舍去.

②若c=－3，则=－2x－3=－4，=－3x－3

向左平移n个单位后则解析式为：－4 则当x≥1－n时，y随x的增大而增大.

向下平移n个单位后则解析式为：=－3x－3－n

要使平移后直线与P有公共点，则当x=1－n，≥

即－3（1－n）－3－n≥－4 解得：n≥1

综上所述，n≥1.

2－5n=2∴当n=时，2－5n的小值为－