【题目】(1)问题发现:如图1,在等边中,点为边上一动点,交于点,将绕点顺时针旋转得到,连接.则与的数量关系是_____,的度数为______.
(2)拓展探究:如图2,在中,,,点为边上一动点,交于点,当∠ADF=∠ACF=90°时,求的值.
(3)解决问题:如图3,在中,,点为的延长线上一点,过点作交的延长线于点,直接写出当时的值.
【答案】(1),;(2);(3).
【解析】
(1)由题意可证△DEC是等边三角形,∠AED=120°,可得DE=DC,由旋转性质可得∠ADF=60°=∠EDC,AD=DF,由“SAS”可证△ADE≌△FDC,可得AE=CF,∠AED=∠DCF=120°,可得∠ACF=60°;
(2)通过证明△DAE∽△DFC,可得,通过证明△EDC∽△ABC,可得,即可求的值;
(3)通过证明△DAE∽△DFC,可得,通过证明△EDC∽△ABC,可得,即可求的值;
解:(1)∵DE∥AB
∴∠ABC=∠EDC=60°,∠BAC=∠DEC=60°
∴△DEC是等边三角形,∠AED=120°
∴DE=DC,
∵将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF,
∴∠ADF=60°=∠EDC,AD=DF
∴∠ADE=∠FDC,且CD=DE,AD=DF
∴△ADE≌△FDC(SAS)
∴AE=CF,∠AED=∠DCF=120°
∴∠ACF=60°,
故答案为AE=CF,60°
(2)∵∠ABC=90°,∠ACB=60°,
∴∠BAC=30°
∴tan∠BAC=
∵DE∥AB
∴∠EDC=∠ABC=90°
∵∠ADF=90°,
∴∠ADE=∠FDC
∵∠ACF=90°,∠AED=∠EDC+∠ACB,∠FCD=∠ACF+∠ACB
∴∠AED=∠FCD,且∠ADE=∠FDC
∴△DAE∽△DFC
∵DE∥AB
∴△EDC∽△ABC
(3)∵AB∥DE
∴∠ABC=∠BDE=∠ADF,∠BAC=∠E
∴∠BDE+∠ADB=∠ADF+∠ADB
∴∠ADE=∠CDF,
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=∠ACF+∠DCF,且∠ACF=∠ABC
∴∠BAC=∠DCF=∠E,且∠ADE=∠CDF
∴△ADE∽△FDC
∵DE∥AB
∴△EDC∽△ABC
∵
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【题目】若用“*”表示一种运算规则,我们规定:a*b=ab﹣a+b,如:3*2=3×2﹣3+2=5.以下说法中错误的是( )
A. 不等式(﹣2)*(3﹣x)<2的解集是x<3
B. 函数y=(x+2)*x的图象与x轴有两个交点
C. 在实数范围内,无论a取何值,代数式a*(a+1)的值总为正数
D. 方程(x﹣2)*3=5的解是x=5
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【题目】如图,某高楼顶部有一信号发射塔,在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为∠α=48°和∠β=65°,矩形建筑物宽度AD=20m,高度CD=30m,则信号发射塔顶端到地面的高度FG为__米(结果精确到1m).
参考数据:sin48°=0.7,cos48°=0.7,tan48°=1.1,cos65°=0.4,tan65°=2.1
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BA=BC,BD平分∠ABC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)过点D作DE⊥BD,交BC的延长线于点E,若BC=5,BD=8,求四边形ABED的周长.
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【题目】如图,△OAC的顶点O在坐标原点,OA边在x轴上,OA=2,AC=1,把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′,使得点O′的坐标是(1,),则在旋转过程中线段OC扫过部分(阴影部分)的面积为______.
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【题目】某班开展安全知识竞赛活动,班长将所有同学的成绩(得分为整数,满分为100分)分成四类,并制作了如下的统计图表:
类别 | 成绩 | 频数 |
甲 | 60≤m<70 | 5 |
乙 | 70≤m<80 | a |
丙 | 80≤m<90 | 10 |
丁 | 90≤m≤100 | 5 |
根据图表信息,回答下列问题:
(1)该班共有学生________人;表中a=________;
(2)将丁类的五名学生分别记为A、B、C、D、E,现从中随机挑选两名学生参加学校的决赛,请借助树状图、列表或其他方式求B一定能参加决赛的概率.
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【题目】如图,已知△ABC,且∠ACB=90°.
(1)请用直尺和圆规按要求作图(保留作图痕迹,不写作法和证明):
①以点A为圆心,BC边的长为半径作⊙A;
②以点B为顶点,在AB边的下方作∠ABD=∠BAC.
(2)请判断直线BD与⊙A的位置关系,并说明理由.
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【题目】如图所示,,分别是正方形的边,上的点,且,以为边作正方形,与交于点,连接.
(1)求证:;
(2)若是的中点,求证:为的中点;
(3)连接,设,,,在(2)的条件下,判断是否成立?并说明理由.
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