Question

【题目】如图所示，，分别是正方形的边，上的点，且，以为边作正方形，与交于点，连接.

（1）求证：；

（2）若是的中点，求证：为的中点；

（3）连接，设，，，在（2）的条件下，判断是否成立？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）由正方形的性质得出AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，再由SAS即可证出△ADE≌△DCF；

（2）先证出，再证明，得出比例式，证出，即可得出结论；

（3）先证明△AEQ∽△ECQ，得出△AEQ∽△ECQ∽△ADE，得出面积比等于相似比的平方，再由勾股定理即可得出结论．

（1）证明：由，，，得；

（2）证明：因为四边形是正方形，

所以，所以.

又因为，所以.

因为，所以，

所以.

因为是的中点，所以，所以

因为，所以，即是的中点．

（3）解：成立．

理由：因为，所以，

所以.

因为，

所以，

所以.

所以，.

所以.

在中，由勾股定理，得，

所以，即.