Question

【题目】如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，若线段交于点，且为直角三角形，则的长为______．

Answer 1

【答案】6或

【解析】

由三角函数得出∠A=30°，由直角三角形的性质得出AB=2BC=8，由折叠的性质得出DA=DC=2，FA′=FA，∠DA′F=∠A=30°，设BF=x，则AF=8-x，FA′=8-x，①当∠BEA′=90°时，由三角函数得出AE=3，得出EF=3-（8-x）=x-5，由直角三角形的性质得出方程，解方程即可；
②当∠BA'E=90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，证明Rt△BDA'≌Rt△BDC，得出BA′=BC=4，求出∠FA'H=60°，在Rt△BFH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解：

∴∠A=30°，
∴AB=2BC=8，

∵点D是AC的中点，沿DF所在直线把△ADF翻折到△A′DF的位置，线段A′D交AB于点E，

设BF=x，则AF=8-x，FA′=8-x，下面分两种情况讨论:
①当∠BEA′=90°时，在Rt△ADE中，

∴EF=3-（8-x）=x-5，
在Rt△A'FE中，∵∠FA'E=30°，
∴FA'=2FE，即8-x=2（x-5），
解得x=6，即BF=6；
②当∠BA'E=90°时，作FH⊥BA'，交BA'的延长线于H，连接BD，如图所示：

在Rt△BDA'和△BDC中

∴Rt△BDA'≌Rt△BDC（HL），
∴BA′=BC=4，
∵∠BA'F=∠BA'E+∠FA'E=90°+30°=120°，
∴∠FA'H=60°，
在Rt△FHA'中，

在Rt△BFH中，∵FH2+BH2=BF2，

解得：x= ，即BF= .
综上所述，BF的长为6或.
故答案为6或.