Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的角平分线，点E、F分别是边AC、BC上的动点．AB=$\sqrt{32}$，设AE=x，BF=y．
（1）AC的长是4；
（2）若x+y=3，求四边形CEDF的面积；
（3）当DE⊥DF时，试探索x、y的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据锐角三角函数得到AC的长；
（2）如图，过点D作DG⊥AC于点G，DH⊥BC于点H，由∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的角平分线得到∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，CD⊥AB，AD=CD=BD，在等腰直角三角形ACD中，DG⊥AC，∠A=45°求出DG=AG=$\frac{1}{2}$AC=2，DH=2，求出四边形CEDF的面积；
（3）当DE⊥DF时，∠EDF=90°，又因为CD⊥AB得到∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF=90°，证得△ADE≌△CDF，AE=CF，AE+BF=CF+BF=BC，即x+y=4．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∵AB=$\sqrt{32}$，
∴AC=4；

（2）如图，过点D作DG⊥AC于点G，DH⊥BC于点H
∵∠ACB=90°，AC=BC，CD是∠ACB的角平分线
∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，CD⊥AB
∴AD=CD=BD
∵在等腰直角三角形ACD中，DG⊥AC，∠A=45°
∴DG=AG=$\frac{1}{2}$AC=2
同理DH=2
∵S_△CDE=$\frac{1}{2}$CE•DG=4-x，S_△CDF=$\frac{1}{2}$CF•DH=4-y，
∴S_{四边形CEDF}=S_△CDE+S_△CDF
=（4-x）+（4-y）=8-（x+y）=5；

（3）当DE⊥DF时，∠EDF=90°
∵CD⊥AB
∴∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF=90°
∴∠ADE=∠CDF，
又∵∠A=∠DCF=45°，
AD=CD
在△ADE与△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}\\{AD=CD}\\{∠A=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF
∴AE=CF
∴AE+BF=CF+BF=BC
即x+y=4．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是做题的关键．