Question

5．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P是AC边上一动点，由点A向点C运动（不与点A，C重合），点Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D．则ED的长为（　　）

• A． 2cm
• B． 3cm
• C． 4cm
• D． 缺少条件，无法求出

Answer 1

分析 作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，

解答 解：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
在△APE和△BQF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠BFQ}\\{∠A=∠FBQ}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=$\frac{1}{2}$EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
故选：B．

点评 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．