Question

13．如图，在正方形ABCD中，G是以AB为直径的圆上一点，连接AG并延长交BC于点E，连接BG并延长交CD于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）若E是BC的中点，连接DG，则DG是⊙O的切线吗？为什么？
（3）在（2）的条件下，求tan∠DGF的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意首先证明△ABE≌△BCF（ASA），即可得出答案；
（2）首先得出四边形OBFD是平行四边形，进而求出△AOD≌△GOD（SAS），再得出∠OGD=∠BAD=90°，即可得出答案；
（3）首先得出∠BAE=∠DGF，进而利用锐角三角函数得出答案．

解答 （1）证明：∵正方形ABCD中，AB是⊙O的直径，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBF}\\{AB=BC}\\{∠ABC=∠BCD=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE=BF，BE=CF；

（2）解：DG是⊙O的切线，
理由：∵E是BC的中点，O是AB的中点，
∴BE=OG=OB=OA=CF=DF，AB∥DC，
∴四边形OBFD是平行四边形，
∴∠B=∠AOD，∠DOG=∠BGO，
在△AOD和△GOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=GO}\\{∠AOD=∠DOG}\\{DO=DO}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△GOD（SAS），
∴∠OGD=∠BAD=90°，DG=AD=DC，
∴OG⊥DG，
∴DG是⊙O的切线；

（3）解：连接GO，
∵DG是⊙O的切线，
∴∠OGD=90°，
∵∠OGB=∠OBG，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠DGF+∠OGB=90°，
∴∠BAE=∠DGF，
∴tan∠BAE=tan∠DGF=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用以及正方形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，表示出△AOD≌△GOD是解题关键．