Question

4．如图，已知：抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D为顶点，连结BC、AC．
（1）求抛物线解析式及点D的坐标；
（2）在抛物线上B、D之间是否存在一点G，使S_{四边形CDGB}=4S_△DGB？若存在，求出G点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若M为抛物线上对称轴右侧的一点，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使以C、M、N为顶点的三角形与△BDE相似，求出满足条件的点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式得到关于b、c的方程组，然后求解得到b、c的值，即可得解；
（2）连接BC，求出直线BC的解析式，设直线BC与对称轴相交于点F，然后求出DF，再求出△BCD的面积，然后求出△BDG的面积，设过点G与y轴平行的直线相交于点H，利用待定系数法求出直线BD的解析式，再表示出GH，然后根据三角形的面积列方程求解即可得到点G的横坐标，再求解即可；
（3）求出BC的长，过点B作BP⊥BC交CM的延长线于P，过点P作PQ⊥x轴于Q，根据点B、C、D的坐标判断出BC、CD与y轴的夹角都是45°，从而判断出∠BCD=90°，再求出BC∥MN，根据两直线平行，内错角相等可得∠BCP=∠CMN，再分两种情况求出△BCP和△BDE相似，然后根据相似三角形对应边成比例求出BP，再求出BQ、PQ，然后分别写出点P的坐标，利用待定系数法求出直线CP的解析式，再与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
所以，抛物线的解析式为，y=x²-2x-3；

（2）连接BC，
令x=0，则y=-3，
所以，点C（0，-3），
易求直线BC的解析式为y=x-3，
∵抛物线的解析式为：y=x²-2x-3=（x-1）²-4；
∴D（1，-4），对称轴为直线x=1，
设直线BC与对称轴相交于点F，
x=1时，y=1-3=-2，
所以，点F（1，-2），
所以，DF=-2-（-4）=-2+4=2，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
∵S_{四边形CDGB}=4S_△DGB，
∴S_△DGB=$\frac{1}{3}$S_△BCD=$\frac{1}{3}$×3=1，
设过点G与y轴平行的直线相交于点H，直线BD的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
所以，直线BD的解析式为y=2x-6，
设G（x，x²-2x-3），
则GH=（2x-6）-（x²-2x-3）=-x²+4x-3，
所以，S_△BDG=$\frac{1}{2}$×（-x²+4x-3）×（3-1）=-x²+4x-3=1，
整理得，x²-4x+4=0，
解得x₁=x₂=2，
y=2²-2×2-3=4-4-3=-3，
所以，点G（2，-3）；

（3）由勾股定理得，BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
如图，过点B作BP⊥BC交CM的延长线于P，
∵B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
∴BC、CD与y轴的夹角都是45°，
∴∠BCD=90°，
又∵MN⊥CD，
∴BC∥MN，
∴∠BCP=∠CMN，
∵以C、M、N为顶点的三角形与△BDE相似，
∴以B、C、P为顶点的三角形与△BDE相似，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BE}{ED}$或$\frac{BP}{BC}$=$\frac{DE}{BE}$，
即$\frac{BP}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3-1}{4}$或$\frac{BP}{3\sqrt{2}}$=$\frac{4}{3-1}$，
解得BP=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$或BP=6$\sqrt{2}$，
过点P作PQ⊥x轴于Q，
∵∠OBC=45°，
∴∠PBQ=45°，
①当BP=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，PQ=BQ=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$，
所以，OQ=OB+BQ=3+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
所以，点P（$\frac{9}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
设直线CP的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}k+b=-\frac{3}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以，直线CP的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{7}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{20}{9}}\end{array}\right.$，
所以，点M（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$），
②当BP=6$\sqrt{2}$时，PQ=BQ=6$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=6，
所以，OQ=OB+BQ=3+6=9，
所以，点P（9，-6），
设直线CP的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=-6}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以，直线CP的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{5}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{32}{9}}\end{array}\right.$，
∴点M（$\frac{5}{3}$，-$\frac{32}{9}$），
综上所述，存在点M（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）或（$\frac{5}{3}$，-$\frac{32}{9}$），使以C、M、N为顶点的三角形与△BDE相似．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，（2）把问题转化为求△BDG的面积是解题的关键，（3）作辅助线构造出相似三角形是解题的关键，难点在于要分情况讨论．