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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC=12cm，BD=16cm．动点P在线段AB上，由B向A运动，速度为1cm/s，动点Q在线段OD上，由D向O运动，速度为1cm/s．过点Q作直线EF⊥BD交AD于E，交CD于F，连接PF，设运动时间为t（0＜t＜8）．问：
    （1）何时四边形APFD为平行四边形？求出相应t的值；
    （2）设四边形APFE面积为ycm2，求y与t的函数关系式；
    （3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出相应t的值，并求出，P、E两点间的距离；若不存在，说明理由．
    考点：四边形综合题
    专题：几何动点问题
    分析：（1））由四边形ABCD是菱形，OA=
    1
    2
    AC，OB=
    1
    2
    BD．在Rt△AOB中，运用勾股定理求出AB=10．再由△DFQ∽△DCO．得出
    DF
    DC
    =
    QD
    OD
    ．求出DF．由AP=DF．求出t．
    （2）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG=
    1
    2
    AC•BD，求出CG．据S梯形APFD=
    1
    2
    （AP+DF）•CG．S△EFD=
    1
    2
    EF•QD．得出y与t之间的函数关系式；
    （3）过点C作CG⊥AB于点G，由S菱形ABCD=AB•CG，求出CG，由S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，求出t，再由△PBN∽△ABO，求得PN，BN，据线段关系求出EM，PM再由勾股定理求出PE．
    解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
    ∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=
    1
    2
    AC=6，OB=OD=
    1
    2
    BD=8．
    在Rt△AOB中，AB=
    		62+82
    =10．
    ∵EF⊥BD，
    ∴∠FQD=∠COD=90°．
    又∵∠FDQ=∠CDO，
    ∴△DFQ∽△DCO．
    ∴
    DF
    DC
    =
    QD
    OD
    ．
    即
    DF
    10
    =
    t
    8
    ，
    ∴DF=
    5
    4
    t．
    ∵四边形APFD是平行四边形，
    ∴AP=DF．
    即10-t=
    5
    4
    t，
    解这个方程，得t=
    40
    9
    ．
    ∴当t=
    40
    9
    s时，四边形APFD是平行四边形．

    （2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，

    ∵S菱形ABCD=AB•CG=
    1
    2
    AC•BD，
    即10•CG=
    1
    2
    ×12×16，
    ∴CG=
    48
    5
    ．
    ∴S梯形APFD=
    1
    2
    （AP+DF）•CG
    =
    1
    2
    （10-t+
    5
    4
    t）•
    48
    5
    =
    6
    5
    t+48．
    ∵△DFQ∽△DCO，
    ∴
    QD
    OD
    =
    QF
    OC
    ．
    即
    t
    8
    =
    QF
    6
    =，
    ∴QF=
    3
    4
    t．
    同理，EQ=
    3
    4
    t．
    ∴EF=QF+EQ=
    3
    2
    t．
    ∴S△EFD=
    1
    2
    EF•QD=
    1
    2
    ×
    3
    2
    t×t=
    3
    4
    t2．
    ∴y=（
    6
    5
    t+48）-
    3
    4
    t2=-
    3
    4
    t2+
    6
    5
    t+48．

    （3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，

    若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，
    则-
    3
    4
    t2+
    6
    5
    t+48=
    17
    40
    ×96，
    即5t2-8t-48=0，
    解这个方程，得t1=4，t2=-
    12
    5
    （舍去）
    过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
    当t=4时，
    ∵△PBN∽△ABO，
    ∴
    PN
    AO
    =
    PB
    AB
    =
    BN
    BO
    ，
    即
    PN
    6
    =
    4
    10
    =
    BN
    8
    ．
    ∴PN=
    12
    5
    ，BN=
    16
    5
    ．
    ∴EM=EQ-MQ=3-
    12
    5
    =
    3
    5
    ．
    PM=BD-BN-DQ=16-
    16
    5
    -4=
    44
    5
    ．
    在Rt△PME中，
    PE=
    		PM2+EN2
    =
    		1945
    5
    （cm）．
    点评：本题主要考查了四边形的综合知识，用到的知识点有勾股定理、菱形的性质、梯形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及一元二次方程得解、平行四边形的性质等性质，题目的综合性较强，对学生的综合解题能力要求很高，是一道不错的中考压轴题．
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    （1）在数轴上分别画出表示下列3个数的点：-（-4），-|-3.5|，+（-
    1
    2
    ），
    （2）有理数x、y在数轴上对应点如图所示：

    在数轴上表示-x、|y|；
    试把x、y、0、-x、|y|这五个数从小到大用“＜”号连接；
    化简：|x+y|-|y-x|+|y|．

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    已知：抛物线y=-
    1
    2
    x2+3x-
    5
    2
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    如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线l分别与x轴、y轴相交于B、A两点，若OA=6，∠ABO=30°，点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1厘米的⊙C．点P以2厘米/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l∥x轴．若点C与点P同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，则在整个运动过程中直线l与⊙C相切时t的值为
     
    ．

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    配方y=x2-2x-4=
     
    ．

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    布袋中有红，绿小球各一个，随机摸出一个小球后再放回，再摸出一个，则第二次摸到绿球的概率是
     
    ．

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    一个自然数的立方，可以分裂为若干个连续奇数的和．
    例如：23，33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”为2个，3个和4个连续奇数的和

    即23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19…，若63也按照此规律进行“分裂”
    （1）63可以“分裂”成
     
    个连续奇数的和．
    （2）在63“分裂”出的连续奇数中，最大的那个奇数是
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在分别写有数字1～20的20张卡片中随机地抽取1张卡片，求卡片上的数字是质数的概率．

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