Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．
②当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM=CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y=3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；

解答：解：（1）由题知：

a+b+3=0 9a-3b+3=0

解得：

a=-1 b=-2

∴所求抛物线解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）∵抛物线解析式为：y=-x²-2x+3，
∴其对称轴为x=

-2

2

=-1，
∴设P点坐标为（-1，a），当x=0时，y=3，
∴C（0，3），M（-1，0）
①当CP=PM时，（-1）²+（3-a）²=a²，解得a=

5

3

，
∴P点坐标为：P₁（-1，

5

3

）；
②当CM=PM时，（-1）²+3²=a²，解得a=±

10

，
∴P点坐标为：P₂（-1，

10

）或P₃（-1，-

10

）；
③当CM=CP时，由勾股定理得：（-1）²+3²=（-1）²+（3-a）²，解得a=6，
∴P点坐标为：P₄（-1，6）
综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（-1，

10

）或P（-1，-

10

）或P（-1，6）或P（-1，

5

3

）；

点评：本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．