Question

13．数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是3，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4．
②数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为|x+2|．数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5-x|．
③若x表示一个有理数，则|x-1|+|x+3|的最小值=4．
④若x表示一个有理数，且|x+3|+|x-2|=5，则满足条件的所有整数x的是-3或2或-1或0或1或2．
⑤若x表示一个有理数，当x为3，式子|x+2|+|x-3|+|x-5|有最小值为7．

Answer 1

分析 ①②在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，依此即可求解；
④根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解；
③首先将原式变形为y=|x-1|+|x+3|，然后分别从当x≥1时，当-3≤x＜1时，当x＜-3时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值；
④当x＜-3时，当-3≤x≤2时，当x＞2时，当x=-1，当x=1，当x=0去分析，根据一次函数的增减性，即可求得答案；
⑤当x≥5时，当3≤x＜5时，当-2≤x＜3时，当x＜-2时去分析，根据一次函数的增减性，即可求得y的最小值．

解答 解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是5-2=3，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是1-（-3）=4，
故答案为：3，4；

②数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为|x-（-2）|=|x+2|，数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5-x|，
故答案为：|x+2|，|5-x|；

③当x＜-3时，|x-1|+|x+3|=1-x-x-3=-2x-2，
当-3≤x≤1时，|x-1|+|x+3|=1-x+x+3=4，
当x＞1时，|x-1|+|x+3|=x-1+x+3=2x+2，
在数轴上|x-1|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到-3及到1的距离之和，所以当-3≤x≤1时，它的最小值为4，
故答案为：4；

④当x＜-3时，|x+3|+|x-2|=-x-3+2-x=-2x-1=5，
解得：x=-3，
此时不符合x＜-3，舍去；
当-3≤x≤2时，|x+3|+|x-2|=x+3+2-x=5，
此时x=-3或x=2；
当x＞2时，|x+3|+|x-2|=x+3+x-2=2x+1=5，
解得：x=2，
此时不符合x＞2，舍去；
当x=0时，|x+3|+|x-2|=5；
当x=1时，|x+3|+|x-2|=5；
当x=-1时，|x+3|+|x-2|=5；
故答案为：-3或2或-1或0或1或2；

⑤∵设y=|x+2|+|x-3|+|x-5|，
i、当x≥5时，y=x+2+x-3+x-5=3x-6，
∴当x=5时，y最小为：3x-6=3×5-6=9；
ii、当3≤x＜5时，y=x+2+x-3+5-x=x+4，
∴当x=3时，y最小为7；
iii、当-2≤x＜3时，y=x+2+3-x+5-x=10-x，
∴此时y最小接近7；
iiii、当x＜-2时，y=-x-2+3-x+5-x=6-x，
∴此时y最小接近8；
∴y的最小值为7．
故答案为：3，7．

点评 本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想的运用．