Question

6．如图，点Q是等边△ABC的边BC上一点，以AQ为边作等边△AQP，求证：PC∥AB．

Answer 1

分析 延长PC到点D，使CD=BQ，如图，BC=QD，根据等边三角形的性质得∠B=60°，AB=BC，AQ=QP，∠AQP=60°，再利用三角形外角性质可证明∠1=∠2，于是可根据“SAS”判定△ABQ≌△QDP，得到BQ=DP，∠B=∠D=60°，所以DC=DP，则可判断△DCP为等边三角形得到∠PCD=60°，然后根据平行线的性质得到PC∥AB．

解答 证明：延长PC到点D，使CD=BQ，如图，BC=QD，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，AB=BC，
∴AB=QD，
∵△APQ为等边三角形，
∴AQ=QP，∠AQP=60°，
∵∠AQD=∠1+∠B，即∠2+AQP=∠1+B，
∴∠1=∠2，
在△ABQ和△QDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=QD}\\{∠1=∠2}\\{AQ=QP}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△QDP，
∴BQ=DP，∠B=∠D=60°，
∴DC=DP，
∴△DCP为等边三角形，
∴∠PCD=60°，
∴∠PCD=∠B，
∴PC∥AB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的判定与性质．构造△QPD与△ABQ全等是解决此题的关键．