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【题目】如图,矩形ABCD中,∠ABD、CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F.

(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;

(2)当∠ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?请说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)当∠ABE=30°时,四边形BEDF是菱形.

【解析】试题分析:(1)由矩形可得∠ABD=∠CDB,结合BE平分∠ABDDF平分∠BDC∠EBD=∠FDB,即可知BE∥DF,根据AD∥BC即可得证;

2)当∠ABE=30°时,四边形BEDF是菱形,由角平分线知∠ABD=2∠ABE=60°∠EBD=∠ABE=30°,结合∠A=90°可得∠EDB=∠EBD=30°,即EB=ED,即可得证.

试题解析:(1四边形ABCD是矩形,∴AB∥DCAD∥BC∴∠ABD=∠CDB∵BE平分∠ABDDF平分∠BDC∴∠EBD=∠ABD∠FDB=∠BDC∴∠EBD=∠FDB∴BE∥DF,又∵AD∥BC四边形BEDF是平行四边形;

2)当∠ABE=30°时,四边形BEDF是菱形,∵BE平分∠ABD∴∠ABD=2∠ABE=60°∠EBD=∠ABE=30°四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°∴∠EDB=∠EBD=30°∴EB=ED,又四边形BEDF是平行四边形,四边形BEDF是菱形.

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