Question

20．已知：抛物线y=x²-（m+4）x+m+2与x轴交于两点A（a，0），B（b，0）（a＜b），O为坐标原点，分别以OA，OB为直径作⊙O₁和⊙O₂在y轴的哪一侧？简要说明理由，并指明两圆的位置关系．

Answer 1

分析 首先根据根与系数的关系利用m表示出a+b和ab的值，根据这两个式子的符号讨论a和b的符号，从而确定两个圆的位置．

解答 解：∵抛物线y=x²-（m+4）x+m+2与x轴交于两点A（a，0），B（b，0）（a＜b），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=m+4}\\{ab=m+2}\end{array}\right.$，
∴△=（m+4）²-4（m+2）
=m²+4m+8
=（m+2）²+4，
∵（m+2）²≥0，
∴（m+2）²+4＞0，
当m＞-2时，a和b同是正数，则两圆在y轴的右侧，切内切于原点；
当-4≤m＜-2时，a+b≥0，ab＜0，则a＜0，b＞0，则两圆在y轴的两侧，切外切于原点；
当m＜-4时，a和b都是负数，则两圆在y轴的左侧，且外切于原点；
当m=-2时，无意义．

点评 本题考查了二次函数于x轴的交点的确定，二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个根，即可满足根与系数的关系，以及根的判别式．