Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别相交于点A（6，0）、B（0，8）．点C（0，m）是线段OB上动点，过点C作CE⊥AB于点E，点D为
x轴上一动点，连结CD、DE，以CD、DE为边作?CDEF．
（1）求CE的长（用含m的代数式表示）；
（2）当m=3时，是否存在点D，使?CDEF得顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得?CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）首先证明△BCE∽△BAO，根据两个三角形对应边的比相等，可得答案；
（2）证明△EDA∽△BOA，根据相似三角形对应边的比相等即可求得；
（3）分m＞0，m=0，m＜0三种情况讨论，当m=0时，一定不成立，当m＞0时，分0＜m＜8和m＞8两种情况，根据三角函数定义可求解；当m＜0时，分点E与点A重合，点E与点A不重合．

解答：解：（1）∵A（6，0），B（0，8），
∴OA=6，0B=8，
AB=

OA2+OB2

=10，
∵∠CEB=∠AOB=90°，
∴∠OBA=∠EBC，
∴△BCE∽△BAO，

OE

OA

=

BC

AB

，即

CE

6

=

8-m

10

，
CE=-

3

5

m+

24

5

；
（2）∵m=3，
∴BC=8-m=5，CE=-

3

5

m+

24

5

=3，
∴BE=4，
∵点F落在y轴上，（如图2）
，
∴DE∥BO，
∴△EDA∽△BOA，
∴

AD

AO

=

AE

AB

，即

6-OD

6

=

6

10

，
∴OD=

12

5

，
点D的坐标为（

12

5

，0）；
（3）取CE的中点P，过P作PG⊥y轴于G点，
∴CP=

1

2

CE=

12

5

-

3

10

m．
（Ⅰ）当m＞0时，
①0＜m＜8时，如图3，

∠GCP=∠BAO，
cos∠GCP=cos∠BAO=

3

5

，
∴CG=CP•cos∠GCP=

3

5

（

12

5

-

3m

10

）=

36

25

-

9

50

m
∴OG=OC+CG=m+

36

25

-

9

50

m=

41

50

m+

36

25

，
根据题意，得
OG=CP
∴

41

50

m+

36

25

=

12

5

-

3

10

m，
解得m=

6

7

，
②当m≥8时，OG＞CP显然不存在满足条件的m的值；
（Ⅱ）当m=0时，点C与原点O重合，（图4）
；
（Ⅲ）当m＜0时，
①当点E与点A重合时，如图5，

易证△COA∽△AOB，
∴

CO

AO

=

AO

OB

即

-m

6

=

6

8

，解得m=-

9

2

；
②当点E与点A不重合时，如图6，
，
OG=OC-CG=-m-（

36

25

-

9

50

m）═-

41

50

m-

36

25

，
由题意，得
OG=CP
即-

41

50

m-

36

25

=

12

5

-

3

10

m，
解得m=-

96

13

，
综上所述：m

6

7

或0或-

9

2

或-

96

13

．

点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用了相似三角形的判定与性质；（2）利用了平行线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似，又利用了对应边的比相等；（3）分类讨论是解题关键，利用了三角函数的定义，相似三角形的性质．