Question

如图，直线y₁=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y₂=

k

x

函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．
（1）求点M的坐标与k的值；
（2）直接写出使y₂＞y₁成立的自变量取值范围；
（3）点N（a，1）是反比例函数y₂=

k

x

（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标，从而可求K的值；
（2）根据（1）中求得的k值，得出反比例函数的解析式，然后求出y₂＞y₁成立的自变量取值范围；
（3）根据反比例函数解析式可求N点坐标；作点N关于x轴的对称点N₁，连接MN₁与x轴的交点就是满足条件的P点位置．

解答：解：（1）由y₁=2x+2可知A（0，2），即OA=2，
∵tan∠AHO=2，
∴OH=1，
∵MH⊥x轴，
∴点M的横坐标为1．
∵点M在直线y=2x+2上，
∴点M的纵坐标为4，
即M（1，4），
∵点M在y₂=

k

x

上，
∴k=1×4=4；

（2）由（1）得：y₂=

4

x

，
当y₂＞y₁时，

4

x

＞2x+2，
解得：-2＜x＜1，
∵x＞0，
∴自变量的取值范围为：0＜x＜1；

（3）存在．
过点N作N关于x轴的对称点N₁，连接MN₁，交x轴于P（如图所示）．此时PM+PN最小．
∵点N（a，1）在反比例函数y₂=

x

4

（x＞0）上，
∴a=4．即点N的坐标为（4，1），
∵N与N₁关于x轴的对称，N点坐标为（4，1），
∴N₁的坐标为（4，-1），
设直线MN₁的解析式为y=kx+b．
由

4=kx+b -1=4k+b

，
解得：k=-

5

3

，b=

17

3

．
∴直线MN₁的解析式为y=-

5

3

x+

17

3

．
令y=0，得x=

17

5

．
∴P点坐标为（

17

5

，0）．

点评：此题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，以及线路最短问题，得出P点位置是解题关键．