Question

【题目】如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，﹣1），点A的坐标为（﹣2，），点B的坐标为（﹣3，0），点C在x轴上，且点D在点A的左侧．

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD，求：

①t的值；

②∠MBD的度数；

（3）在（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=6﹣或6+．

【解析】分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；

（2）①如图2，先根据坐标求EF的长，由EE'﹣FE'=EF=7，列式得：3t﹣2t=7，可得t的值；

②先求∠EBA=60°，则∠FBA=120°，再得∠MBF=45°，相加可得：∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；

（3）分两种情况讨论：作出距离MN和ME，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD为⊙M的切线，由BC是⊙M的切线，得∠MBE=30°，列式为3t+=2t+6，解出即可；

第二种情况：如图6，同理可得t的值．

详解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E．

∵点A的坐标为（﹣2，），点B的坐标为（﹣3，0），∴AE=，BE=3﹣2=1，∴AB===2．

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=2，∴菱形ABCD的周长=2×4=8；

（2）①如图2，⊙M与x轴的切点为F，BC的中点为E．

∵M（3，﹣1），∴F（3，0）．

∵BC=2，且E为BC的中点，∴E（﹣4，0），∴EF=7，即EE'﹣FE'=EF，∴3t﹣2t=7，t=7；

②由（1）可知：BE=1，AE=，

∴tan∠EBA===，∴∠EBA=60°，如图4，∴∠FBA=120°．

∵四边形ABCD是菱形，∴∠FBD=∠FBA==60°．

∵BC是⊙M的切线，∴MF⊥BC．

∵F是BC的中点，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形，

∴∠MBF=45°，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；

（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，分两种情况：

第一种情况：如图5．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠CBD=60°，∴∠NBE=60°．

∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．

∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=30°．

∵ME=1，∴EB=，∴3t+=2t+6，t=6﹣；

第二种情况：如图6．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°．

∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．

∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°．

∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=，EB==，

∴3t=2t+6+，t=6+；

综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣或6+．