Question

【题目】综合与实践

问题背景

折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定理．其中，芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下（如图1）：

操作1：將正方形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD展开，得到折痕EF；

操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B'E的位置，得到折痕MN，B'E与AB交于点P．则P即为AB的三等分点，即AP：PB=2：1．

解决问题

（1）在图1中，若EF与MN交于点Q，连接CQ．求证：四边形EQCM是菱形；

（2）请在图1中证明AP：PB=2：l．

发现感悟

若E为正方形纸片ABCD的边AD上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题：

（3）如图2．若 =2．则=　 　；

（4）如图3，若=3，则=　 　；

（5）根据问题（2），（3），（4）给你的启示，你能发现一个更加一般化的结论吗？请把你的结论写出来，不要求证明．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)4;(4)6;(5)见解析.

【解析】分析：（1）由折叠可得，CM=EM，∠CMQ=∠EMQ，四边形CDEF是矩形，由CM=EQ，CM∥QE，可证四边形EQCM是平行四边形，进而证明四边形EQCM是菱形；

（2）设正方形ABCD的边长为1，CM=x，则EM=x，DM=1﹣x，在Rt△DEM中，由勾股定理可求得x的值，由△AEP∽△DME，列比例式求出AP的值，进而求出PB的值，从而结论可求；

（3）设正方形ABCD的边长为1，CM=x，则EM=x，DM=1﹣x，在Rt△DEM中，由勾股定理可得x的值，由△AEP∽△DME，可得AP的值和BP的值，进而求得结论.

（4）与（3）相同的方法求解即可；

（5）与（3）相同的方法求解即可；

详解：（1）由折叠可得，CM=EM，∠CMQ=∠EMQ，四边形CDEF是矩形，

∴CD∥EF，

∴∠CMQ=∠EQM，

∴∠EQM=∠EMQ，

∴ME=EQ，

∴CM=EQ，

又∵CM∥QE，

∴四边形EQCM是平行四边形，

又∵CM=EM，

∴四边形EQCM是菱形；

（2）如图1，设正方形ABCD的边长为1，CM=x，则EM=x，DM=1﹣x，

在Rt△DEM中，由勾股定理可得：EM2=ED2+DM2，

即x2=（）2+（1﹣x）2，解得x=，

∴CM=，DM=，

∵∠PEM=∠D=90°，

∴∠AEP+∠DEM=90°，∠DEM+∠EMD=90°，

∴∠AEP=∠DME，

又∵∠A=∠D=90°，

∴△AEP∽△DME，

∴=，即，解得AP=，

∴PB=，

∴AP：PB=2：l．

（3）如图2，设正方形ABCD的边长为1，CM=x，则EM=x，DM=1﹣x，

在Rt△DEM中，由勾股定理可得：EM2=ED2+DM2，

即x2=（）2+（1﹣x）2，解得x=，

即CM=，

∴DM=，

由△AEP∽△DME，可得

=，即，解得AP=，

∴PB=，

∴=4，

故答案为：4；

（4）如图3，同理可得AP=，PB=，

∴=6，

故答案为：6；

（5）根据问题（2），（3），（4），可得当（n为正整数），则．

理由：设正方形ABCD的边长为1，CM=x，则EM=x，DM=1﹣x，

在Rt△DEM中，由勾股定理可得：EM2=ED2+DM2，

即x2=（）2+（1﹣x）2，解得x=，

∴DM=1﹣CM=，

由△AEP∽△DME，可得

=，即，解得AP=，

∴PB=，

∴．