Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y= -2x和反比例函数的图象交于A（a,-4）,B两点。过原点O的另一条直线l与双曲线交于点P,Q两点（P点在第二象限），若以点A,B,P,Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标是_______

Answer 1

【答案】P（﹣4，2）或P（﹣1，8）．

【解析】

根据题意先求出点A（2，﹣4），利用原点对称求出B（﹣2，4），再把A代入代入反比例函数得出解析式，利用原点对称得出四边形AQBP是平行四边形，S△POB＝S平行四边形AQBP×＝×24＝6，设点P的横坐标为m（m＜0且m≠﹣2），得到P的坐标，根据双曲线的性质得到S△POM＝S△BON＝4，接着再分情况讨论：若m＜﹣2时，可得P的坐标为（﹣4，2）；若﹣2＜m＜0时，可得P的坐标为（﹣1，8）.

解：∵点A在正比例函数y＝﹣2x上，

∴把y＝﹣4代入正比例函数y＝﹣2x，

解得x＝2，∴点A（2，﹣4），

∵点A与B关于原点对称，

∴B点坐标为（﹣2，4），

把点A（2，﹣4）代入反比例函数 ，得k＝﹣8，

∴反比例函数为y＝﹣，

∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，

∴OP＝OQ，OA＝OB，

∴四边形AQBP是平行四边形，

∴S△POB＝S平行四边形AQBP×＝×24＝6，

设点P的横坐标为m（m＜0且m≠﹣2），

得P（m，﹣），

过点P、B分别做x轴的垂线，垂足为M、N，

∵点P、B在双曲线上，

∴S△POM＝S△BON＝4，

若m＜﹣2，如图1，

∵S△POM+S梯形PMNB＝S△POB+S△POM，

∴S梯形PMNB＝S△POB＝6．

∴（4﹣）（﹣2﹣m）＝6．

∴m1＝﹣4，m2＝1（舍去），

∴P（﹣4，2）；

若﹣2＜m＜0，如图2，

∵S△POM+S梯形BNMP＝S△BOP+S△BON，

∴S梯形BNMP＝S△POB＝6．

∴（4﹣）（m+2）＝6，

解得m1＝﹣1，m2＝4（舍去），

∴P（﹣1，8）．

∴点P的坐标是P（﹣4，2）或P（﹣1，8），

故答案为P（﹣4，2）或P（﹣1，8）．