Question

14．在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA₁C₁、Rt△OA₂C₂、Rt△OA₃C₃、Rt△OA₄C₄…斜边都在坐标轴上，∠A₁OC₁=∠A₂OC₂=∠A₃OC₃…=30°，若点A₁的坐标（3，0），OA₁=OC₂，OA₂=OC₃，OA₃=OC₄…则依此规律OA₂₀₁₆的长为（　　）

• A． 3×（$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$）²⁰¹³
• B． 3×（$\frac{3}{2}\sqrt{3}$）²⁰¹⁴
• C． 3×（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁵
• D． 3×（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁶

Answer 1

分析 在直角三角形中，利用三角函数分别求出OA₂、OA₃、OA₄…的长度，根据规律可得OA₂₀₁₆的长．

解答 解：∵∠A₂OC₂=30°，OA₁=OC₂=3，
∴OA₂=$\frac{2}{\sqrt{3}}$OC₂=3×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
同理：OA₂=OC₃=3×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
OA₃=$\frac{2}{\sqrt{3}}$OC₃=3×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²；
OA₃=OC₄=3×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²，
OA₄=$\frac{2}{\sqrt{3}}$OC₄=3×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）³，
…
∴OA₂₀₁₆=3×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁵，
故选：C．

点评 本题考查了规律型，点的坐标：通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．