Question

定义：如图⑴，若分别以△ABC的三边AC，BC，AB为边向三角形外侧作正方形ACDE，BCFG和ABMN，则称这三个正方形为△ABC的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为△ABC的外展双叶正方形．

 

（1）作△ABC的外展双叶正方形ACDE和BCFG，记△ABC，△DCF的面积分别为

S₁和S₂．

① 如图⑵，当∠ACB＝90°时，求证：S₁＝S₂．

② 如图⑶，当∠ACB≠90°时，S₁与S₂是否仍然相等，请说明理由．

（2）已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，作其外展三叶正方形，记△DCF，△AEN，△BGM的面积和为S，请利用图⑴探究：当∠ACB的度数发生变化时，S的值是否发生变化，若不变，求出S的值；若变化，求出S的最大值．

Answer 1

 (1)证明：∵正方形ACDE和正方形BCFG，

∴AC＝DC，BC＝FC，∠ACD＝∠BCF＝90°，

又∵∠ACB＝90°，∴∠DCF＝90°，

∴∠ACB＝∠DCF＝90°，

∴△ABC≌△DFC．

∴S₁＝S₂．                                                   

(2) S₁＝S₂．                                                        

理由如下：

如图，过点A作AP⊥BC于点P，

过点D作DQ⊥FC交FC的延长线于点Q．

∴∠APC＝∠DQC＝90°．

∵四边形ACDE，BCFG均为正方形，

∴AC＝CD，BC＝CF，∠ACP＋∠ACQ＝90°，∠DCQ＋∠ACQ＝90°．

∴∠ACP＝∠DCQ．

∴△APC ≌△DQC．（AAS）                                    

∴AP＝DQ．

又∵S₁＝BC•AP，S₂＝FC•DQ，

∴S₁＝S₂．．                                                  

(3) 由(2)得，S是△ABC面积的三倍，

要使S最大，只需三角形ABC的面积最大，

∴当△ABC是直角三角形，即∠ACB＝90°时，S有最大值．      

此时，S＝3S_△ABC＝3××3×4=18．