Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．

（1）求二次函数的解析式．

（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．

（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．

（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S_△ADP=S_△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

（1）二次函数解析式为：y=x²﹣4x+6；

（2）函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），点D的坐标为（6，0）；

（3）△BDE的面积为7.5．

（4）存在，P₁（4+，），P₂（4﹣，），P₃（3，﹣），P₄（5，﹣）．

【解析】（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）

∴，解得，∴二次函数解析式为：y=x²﹣4x+6；

（2）由y=x²﹣4x+6，得y=（x﹣4）²﹣2，∴函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），

∵点A，D是y=x²+bx+c与x轴的两个交点，又∵点A（2，0），对称轴为x=4，

∴点D的坐标为（6，0）；

（3）∵二次函数的对称轴交x轴于C点．∴C点的坐标为（4，0）∵B（8，6），

设BC所在的直线解析式为y=kx+b，∴解得

∴BC所在的直线解析式为y=x﹣6，∵E点是y=x﹣6与y=x²﹣4x+6的交点，∴x﹣6=x²﹣4x+6，解得x₁=3，x₂=8（舍去），当x=3时，y=﹣3，∴E（3，﹣），

∴△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积=×2×6+×2×=7.5．

（4）存在，

设点P到x轴的距离为h，

∵S_△BCD=×2×6=6，S_△ADP=×4×h=2h，∵S_△ADP=S_△BCD  ，∴2h=6×，解得h=，

当P在x轴上方时，=x²﹣4x+6，解得x₁=4+，x₂=4﹣，

当P在x轴下方时，﹣=x²﹣4x+6，解得x₁=3，x₂=5，

∴P₁（4+，），P₂（4﹣，），P₃（3，﹣），P₄（5，﹣）．