【题目】如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A、C间的一个动点(含端点),过点P作PF⊥BC于点F,点D、E的坐标分别为(0,6),(﹣4,0),连接PD,PE,DE.
(1)求抛物线的解析式;
(2)小明探究点P的位置是发现:当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值,进而猜想:对于任意一点P,PD与PF的差为定值,请你判定该猜想是否正确,并说明理由;
(3)请直接写出△PDE周长的最大值和最小值.
【答案】(1)y=﹣x2+8;(2)正确,d=|PD﹣PF|为定值2;理由见解析;(3)△PDE周长的最大值是2+14,最小值是2+10.
【解析】
(1)利用待定系数法求出抛物线解析式即可;
(2)首先表示出P,F点坐标,再利用两点之间距离公式得出PD,PF的长,进而求出即可;
(3)过E作EF⊥x轴,交抛物线于点P,求得C△PDE=ED+PE+PD=ED+PE+PF+2=ED+2+(PE+PF),当P、E、F三点共线时,PE+PF最小;当P与A重合时,PE+PF最大;即可解答.
(1)∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,
∴C(0,8),A(﹣8,0),
设抛物线解析式为:y=ax2+c,
则,
解得:.
∴抛物线解析式为y=﹣x2+8.
(2)设P(x,﹣x2+8),则F(x,8),
则PF=8﹣(﹣x2+8)=x2.
PD2=x2+[6﹣(﹣x2+8)]2=x4+x2+4=(x2+2)2
∴PD=x2+2,
∴d=|PD﹣PF|=|x2+2﹣x2|=2
∴d=|PD﹣PF|为定值2;
(3)如图,过点E作EF⊥x轴,交抛物线于点P,
由d=|PD﹣PF|为定值2,
得C△PDE=ED+PE+PD=ED+PE+PF+2=ED+2+(PE+PF),
又∵D(0,6),E(﹣4,0)
∴DE=.
∴C△PDE=2+2+(PE+PF),
当PE和PF在同一直线时PE+PF最小,
得C△PDE最小值=2+2+8=2 +10.
设P为抛物线AC上异于点A的任意一点,过P作PM∥x轴,交AB于点M,连接ME,如图2.
由于E是AO的中点,易证得ME≥PE(当点P接近点A时,在△PME中,显然∠MPE是钝角,故ME≥PE,与A重合时,等号成立),而ME≤AE+AM,
所以PE≤AE+AM.
所以当P与A重合时,PE+PF最大,
AE=8﹣4=4,PD==10.
得C△PDE最大值=2+4+10=2+14.
综上所述,△PDE周长的最大值是2+14,最小值是2+10.
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【题目】已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1=0有两个实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)当x12+x22=﹣6x1x2时,求m的值.
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【题目】如图,在□ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,AG∥DB交CB的延长线于G.若四边形BEDF是菱形,则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论.
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【题目】如图,在测量“河流宽度”的综合与实践活动中,小李同学设计的方案及测量数据如下:在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D (点B,C,D在同一条直线上),AB⊥BD,∠ACB=45°,CD=20米,且.若测得∠ADB=25°,请你帮助小李求河的宽度AB.(sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47,结果精确到0.1米).
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【题目】如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+∠DCB=90°,且BC=2AD,以AB、BC、DC为边向外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,若S1=2,S3=4,则S2的值为_____.
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【题目】“低碳生活,绿色出行”是我们倡导的一种生活方式,某校为了解学生对共享单车的使用情况,随机抽取部分学生进行问卷调查,并将这次调查的结果绘制了以下两幅不完整的统计图.
根据所给信息,解答下列问题:
(1)m= ;
(2)补全条形统计图;
(3)这次调查结果的众数是 ;
(4)已知全校共3000名学生,请估计“经常使用”共享单车的学生大约有多少名?
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【题目】如图,在⊙O中,点C是优弧ACB的中点,D、E分别是OA、OB上的点,且AD=BE,弦CM、CN分别过点D、E.
(1)求证:CD=CE.
(2)求证:=.
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【题目】如图1,用篱笆靠墙围成矩形花围ABCD,墙可利用的最大长度为15米,一面利用旧墙,其余三面用篱笆围成,篱笆总长为24米.
(1)若围成的花圃面积为40米2时,求BC的长;
(2)如图2若计划在花圃中间用一道隔成两个小矩形,且围成的花圃面积为50米2,请你判断能否成功围成花圃,如果能,求BC的长?如果不能,请说明理由.
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【题目】小明参加某个智力竞答节目,答对最后两道单选题就顺利通关.第一道单选题有3个选项,第二道单选题有4个选项,这两道题小明都不会,不过小明还有一个“求助”没有用(使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项).
(1)如果小明第一题不使用“求助”,那么小明答对第一道题的概率是 .
(2)如果小明将“求助”留在第二题使用,请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率.
(3)从概率的角度分析,你建议小明在第几题使用“求助”.(直接写出答案)
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