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【题目】如图,边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点AC间的一个动点(含端点),过点PPFBC于点F,点DE的坐标分别为(06),(﹣40),连接PDPEDE

1)求抛物线的解析式;

2)小明探究点P的位置是发现:当点P与点A或点C重合时,PDPF的差为定值,进而猜想:对于任意一点PPDPF的差为定值,请你判定该猜想是否正确,并说明理由;

3)请直接写出PDE周长的最大值和最小值.

【答案】1y=﹣x2+8;(2)正确,d|PDPF|为定值2;理由见解析;(3)△PDE周长的最大值是2+14,最小值是2+10

【解析】

1)利用待定系数法求出抛物线解析式即可;

2)首先表示出PF点坐标,再利用两点之间距离公式得出PDPF的长,进而求出即可;

3)过EEFx轴,交抛物线于点P,求得CPDEEDPEPDEDPEPF2ED2+(PEPF),当PEF三点共线时,PEPF最小;当PA重合时,PEPF最大;即可解答.

1边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A

C08),A(﹣80),

设抛物线解析式为:yax2+c

解得:

抛物线解析式为y=﹣x2+8

2)设Px,﹣x2+8),则Fx8),

PF8﹣(﹣x2+8)=x2

PD2x2+[6﹣(﹣x2+8]2x4+x2+4=(x2+22

PDx2+2

d|PDPF||x2+2x2|2

d|PDPF|为定值2

3)如图,过点EEFx轴,交抛物线于点P

d|PDPF|为定值2

CPDEED+PE+PDED+PE+PF+2ED+2+PE+PF),

D06),E(﹣40

DE

CPDE2+2+PE+PF),

PEPF在同一直线时PE+PF最小,

CPDE最小值=2+2+82 +10

P为抛物线AC上异于点A的任意一点,过PPMx轴,交AB于点M,连接ME,如图2

由于EAO的中点,易证得MEPE(当点P接近点A时,在PME中,显然MPE是钝角,故MEPE,与A重合时,等号成立),而MEAE+AM

所以PEAE+AM

所以当PA重合时,PE+PF最大,

AE844PD10

CPDE最大值=2+4+102+14

综上所述,PDE周长的最大值是2+14,最小值是2+10

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