【题目】如图1,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣2),顶点为D,对称轴交x轴于点E.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)设M为该抛物线对称轴左侧上的一点,过点M作直线MN∥x轴,交该抛物线于另一点N.是否存在点M,使四边形DMEN是菱形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接CE(如图2),设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点,过点P作PQ⊥x轴,垂足为Q.连接PE,请求出当△PQE与△COE相似时点P的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣2;(2)点M坐标为(1﹣,﹣);(3)点P的坐标为(5,8)或(2,﹣2)或(,)或(,).
【解析】
(1)由A、B两点的坐标,利用待定系数法可求得二次函数的表达式;
(2)先求出顶点D(1,﹣),则DE=,根据四边形DMEN是菱形,点M的纵坐标为﹣,令x2﹣x﹣2=﹣,解方程,即可求出点M坐标.
(3)分△COE∽△PQE和△COE∽△EQP两种情况进行讨论.
解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),
将点C(0,﹣2)代入,得:﹣3a=﹣2,
解得a=,
则抛物线解析式为
(2)∵y=x2﹣x﹣2=(x﹣1)2﹣,
∴顶点D(1,﹣),即DE=,
∵四边形DMEN是菱形,
∴点M的纵坐标为﹣,
则x2﹣x﹣2=﹣,
解得x=1±,
∵M为该抛物线对称轴左侧上的一点,
∴x<1,
则x=1﹣,
∴点M坐标为(1﹣,﹣);
(3)∵C(0,﹣2),E(1,0),
∴OC=2,OE=1,
如图,设P(m, m2﹣m﹣2)(m>1),
则PQ=|m2﹣m﹣2|,EQ=m﹣1,
①若△COE∽△PQE,则 即
解得m=0(舍)或m=5或m=2或m=﹣3(舍),
此时点P坐标为(5,8)或(2,﹣2);
②若△COE∽△EQP,则即
解得m=(负值舍去)或m=,
此时点P的坐标为(,)或(,);
综上,点P的坐标为(5,8)或(2,﹣2)或(,)或(,).
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【题目】为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就,某校九年级进行了一次数学知识竞赛,并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项:“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”和“杨辉奖”,根据获奖情况绘制成如图1和图2所示的条形统计图和扇形统计图,并得到了获“祖冲之奖”的学生成绩统计表:
“祖冲之奖”的学生成绩统计表:
分数分 | 80 | 85 | 90 | 95 |
人数人 | 4 | 2 | 10 | 4 |
根据图表中的信息,解答下列问题:
这次获得“刘徽奖”的人数是多少,并将条形统计图补充完整;
获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是多少分,众数是多少分;
在这次数学知识竟赛中有这样一道题:一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球,球上分别标有数字“”,“”和“2”,随机摸出一个小球,把小球上的数字记为x放回后再随机摸出一个小球,把小球上的数字记为y,把x作为横坐标,把y作为纵坐标,记作点用列表法或树状图法求这个点在第二象限的概率.
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【题目】抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴平行线,交抛物线于点D,当△BDC的面积最大时,求点P的坐标;
(3)如图2,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,M(m,0)是x轴上一动点,N是线段EF上一点,若∠MNC=90°,请指出实数m的变化范围,并说明理由.
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【题目】已知点C为直径BA的延长线上一点,CD切⊙O于点D,
(Ⅰ)如图①,若∠CDA=26°,求∠DAB的度数;
(Ⅱ)如图②,过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若⊙O的半径为3,BC=10,求BE的长.
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【题目】如图,在ABCD中,E是对角线BD上的一点,过点C作CF∥DB,且CF=DE,连接AE,BF,EF.
(1)求证:△ADE≌△BCF;
(2)若∠ABE+∠BFC=180°,则四边形ABFE是什么特殊四边形?说明理由.
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【题目】超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为,在一条东西走向的笔直高速公路MN上,小型车限速为每小时100千米. 现有一辆小汽车行驶到A处时,发现北偏东30°方向200米处有一超速监测仪P. 10秒后,小汽车行驶至B处,测得监测仪P在B处的北偏西45°方向上. 请问:这辆车超速了吗?通过计算说明理由.(参考数据:)
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【题目】如图,某高楼顶部有一信号发射塔,在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为∠α=48°和∠β=65°,矩形建筑物宽度AD=20m,高度CD=30m,则信号发射塔顶端到地面的高度FG为__米(结果精确到1m).
参考数据:sin48°=0.7,cos48°=0.7,tan48°=1.1,cos65°=0.4,tan65°=2.1
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【题目】已知关于x的方程m x2-(m+2)x+2=0(m≠0).
(1)求证:无论m为何值时,这个方程总有两个实数根;
(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.
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【题目】商场某种新商品每件进价是120元,在试销期间发现,当每件商品售价为130元时,每天可销售70件,当每件商品售价高于130元时,每涨价1元,日销售量就减少1件.据此规律,请回答:
(1)当每件商品售价定为170元时,每天可销售多少件商品?商场获得的日盈利是多少?
(2)在上述条件不变,商品销售正常的情况下,每件商品的销售价定为多少元时,商场日盈利可达到1600元?
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