Question

9．已知直线y=-$\frac{1}{3}$x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC=90度，在x轴上存在一点Q，使得△QAB的面积等于△ABC的面积，则Q点的坐标为（13，0）或（-7，0）．

Answer 1

分析 由直线y=-$\frac{1}{3}$x+1与x轴、y轴交于A、B两点，即可求得点A与B的坐标，又由等腰直角△ABC，且∠BAC=90°，即可求得AB与AC的值，则可求得△ABC的面积，继而求得答案．

解答 解：∵直线y=-$\frac{1}{3}$x+1与x轴、y轴交于A、B两点，
∴点A的坐标为：（3，0），点B的坐标为：（0，1），
∴OA=3，OB=1，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵等腰直角△ABC，∠BAC=90°，
∴AC=AB=$\sqrt{10}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$=5，
∵S_△QAB=S_△ABC，
∴S_△QAB=$\frac{1}{2}$AQ•OB=$\frac{1}{2}$×AQ×1=5，
∴AQ=10，
∴点Q的坐标为（13，0）或（-7，0）．
故答案为：（13，0）或（-7，0）．

点评 此题考查了点与一次函数的关系、等腰直角三角形的性质以及三角形面积的求解方法等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．