Question

已知二次函数y=x²-2mx+4m-8
（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围．
（2）以抛物线y=x²-2mx+4m-8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在拋物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
（3）若抛物线y=x²-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的最小值．

Answer 1

解：（1）二次函数y=x²-2mx+4m-8的对称轴是：x=m．
∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，
而x≤2应在对称轴的左边，
∴m≥2．

（2）如图：顶点A的坐标为（m，-m²+4m-8）
△AMN是抛物线的内接正三角形，
MN交对称轴于点B，tan∠AMB=tan60°==，
则AB=BM=BN，
设BM=BN=a，则AB=a，
∴点M的坐标为（m+a，a-m²+4m-8），
∵点M在抛物线上，
∴a-m²+4m-8=（m+a）²-2m（m+a）+4m-8，
整理得：a²-a=0
得：a=（a=0舍去）
所以△AMN是边长为2的正三角形，
S_△AMN=×2×3=3，与m无关；

（3）当y=0时，x²-2mx+4m-8=0，
解得：x=m±=m±，
∵抛物线y=x²-2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数，
∴（m-2）²+4应是完全平方数，
∴m的最小值为：m=2．
分析：（1）求出二次函数的对称轴x=m，由于抛物线的开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，可以求出m的取值范围．
（2）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，得到△AMN的面积是m无关的定值．
（3）当y=0时，求出抛物线与x轴的两个交点的坐标，然后确定整数m的值．
点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用二次函数的对称轴确定m的取值范围．（2）由点M在抛物线上，求出正三角形的边长，计算正三角形的面积．（3）根据抛物线与x轴的交点的横坐标都是整数，确定整数m的值．