Question

19．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，垂足为E，AD⊥CE，垂足为D．
（1）判断直线BE与AD的位置关系为互相平行，BE与AD之间的距离是线段DE的长；
（2）若AD=8cm，BE=6cm，求BE与AD之间的距离及AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据“BE⊥CE，垂足为E，AD⊥CE，垂足为D”可以得出BE∥AD，进而得到线段DE的长是BE与AD之间的距离；
（2）根据题意，首先可以得出∠BCE=∠CAD，进而可以证明△BCE≌△CAD，据此即可得出DC、DE的长，再根据勾股定理得出AC的长．

解答 解：（1）∵BE⊥CE，∴∠BEC=90°，
∵AD⊥CE，∴∠ADC=90°，
∴∠BEC=∠ADC，
∴AD∥BE，
∴BE与AD之间的距离是线段DE的长；
（2）∵AD⊥CE，垂足为DBE⊥CE，垂足为E，∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DCA+∠CAD=90°，
又∵∠DCA+∠BCE=∠ACB=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
在△CAD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠CAD=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△BCE（AAS），
∴CE=AD=8cm，DC=BE=6cm，
∴DE=EC-DC=8-6=2（cm），
即：BE与AD之间的距离是2cm，
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，
AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10（cm）．

点评 本题主要考查了两条直线平行的判定定理，两条平行线之间的距离，还考查了三角形全等的判定定理与性质定理，是经常考查的题目，要注意认真总结．