Question

4．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE=30°，∠BAC=45°，求∠ACF的度数．

Answer 1

分析 （1）由AB=CB，∠ABC=90°，AE=CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：∵∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴∠ACB=45°，
又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=15°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°．

点评 此题考查了直角三角形全等的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．