Question

15．如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△AED；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S_△ABE=S_△CDE；⑤S_△ABE=S_△CEF．其中正确的是①②⑤．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，由AE平分∠BAD，可得∠BAE=∠DAE，可得∠BAE=∠BEA，得AB=BE，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60°，由SAS证明△ABC≌△EAD，①正确；由△FCD与△ABD等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），得出S_△FCD=S_△ABD，由△AEC与△DEC同底等高，所以S_△AEC=S_△DEC，得出S_△ABE=S_△CEF．⑤正确．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形；
②正确；
∴∠ABE=∠EAD=60°，
∵AB=AE，BC=AD，
∴△ABC≌△EAD（SAS）；
①正确；
∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），
∴S_△FCD=S_△ABC，
又∵△AEC与△DEC同底等高，
∴S_△AEC=S_△DEC，
∴S_△ABE=S_△CEF；
⑤正确．
若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC
即EC=CD=BE
即BC=2CD，
题中未限定这一条件
∴③④不一定正确；
故答案为：①②⑤．

点评 此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．