Question

5．如图，△ABC中，∠ACB=60°，点D在射线BC上，CN平分∠ACD，点F为CN上任意一点，连接AF，M为AF中点，过点M作EM⊥AF交BC于点E，连接AE、FE，探究∠EAC与∠EFC之间的数量关系．

Answer 1

分析 延长AC1至点G，使CG=CF，连接EG；先由SAS证明△ECG≌△ECF，得出∠G=∠EFC，EG=EF，再由线段垂直平分线的性质得出AE=EF，证出AE=EG，由等腰三角形的性质得出∠EAC=∠G，即可得出结论．

解答 解：∠EAC=∠EFC；理由如下：
延长AC1至点G，使CG=CF，连接EG，如图所示：
∵∠ACB=60°，
∴∠ECG=∠ACD=120°，
∵CN平分∠ACD，
∴∠FCD=60°，
∴∠ECF=120°，
∴∠ECG=∠ECF，
在△ECG和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}{CG=CF}&{\;}\\{∠ECG=∠ECF}&{\;}\\{EC=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△ECF（SAS），∠G=∠EFC，EG=EF，
∵M为AF中点，EM⊥AF，
∴EM垂直平分AF，
∴AE=EF，
∴AE=EG，
∴∠EAC=∠G，
∴∠EAC=∠EFC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．