Question

14．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D是边BC上的任意一点，以AD为折痕翻折△ABD，使点B落在点E处，连接EC，当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或6．

Answer 1

分析 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，根据勾股定理求得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，根据翻折的性质得AE=AB=10，DE=BD，∠AED=∠B=90°．①如图1，当∠DEC=90°时，推出点E在线段AC上，设BD=DE=x，则CD=8-x，根据勾股定理即可得到结果；②如图2，当∠EDC=90，于是得到∠BDE=90°，求得∠BDA=∠ADE=45°，于是得到△ABD是等腰直角三角形于是得到结果．

解答 解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的，
∴AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°．
当△DEC为直角三角形，
①如图1，当∠DEC=90°时，
∵∠AED+∠DEC=180°，
∴点E在线段AC上，
设BD=DE=x，则CD=8-x，
∴CE=AB-AE=4，
∴DE²+CE²=CD²，
即x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
②如图2，当∠EDC=90，
∴∠BDE=90°，
∵∠BDA=∠ADE，
∴∠BDA=∠ADE=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AB=BD=6．
综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或6．
故答案为：3或6．

点评 本题考查了翻折变换=折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论思想的应用是解题的关键．