Question

9．观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离：4与7，3与-5，-2与-5，0与-3
回答下列各题：
（1）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为-1，则A与B两点间的距离可以表示为|x+1|；
（2）化简|x-2|+|x+1|；
（3）结合数轴求得|x-1|+|x+1|的最小值为0，取得最小值时x的取值范围为-1≤x＜1；
（4）满足|x-2|+|x+1|≥5的取值范围为x≤-3或x≥3；
（5）在探究题目的过程中，蕴含的数学思想方法有分类讨论思想（填一个即可）．

Answer 1

分析 （1）根据有理数的减法法则得出即可；
（2）分为x为有理数，所以要分类讨论x-2与x+1的正负，再去掉绝对值符号再计算；
（3）分为x为有理数，所以要分类讨论x-1与x+1的正负，再去掉绝对值符号再计算；
（4）分为x为有理数，所以要分类讨论x-2与x+1的正负，再去掉绝对值符号再计算；
（5）分类讨论思想．

解答 解：（1）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为-1，则A与B两点间的距离可以表示为|x+1|，
故答案为：|x+1|；

（2）当x＜-1时，
∵此时x-2＜0，x+1＜0，
∴|x-2|+|x+1|=-（x-2）-（x+1）=-2x+1；
②当-1≤x＜2时，
∵此时x-2＜0，x+1≥0，
∴|x-2|+|x+1|=-（x-2）+（x+1）=3；
③当x≥2时，
∵此时x-2≥0，x+1＞0，
∴|x-2|+|x+1|=（x-2）+（x+1）=2x-1；

（3）因为x为有理数，就是说x可以为正数，也可以为负数，也可以为0，所以要分情况讨论．
①当x＜-1时，x-1＞0，x+1＜0，所以|x-1|+|x+1|=-（x-1）-（x+1）=-2x；
②当-1≤x＜1时，x-1＜0，x+1≥0，所以|x-1|+|x+1|=（x-1）+（x+1）=2x；
③当x≥1时，x-1≥0，x+1＞0，所以|x-1|+|x+1|=（x-1）+（x+1）=2x≥2；
综上所述，当x=-1，0，1，2，所以|x-2|+|x+1|的最小值是0，
此时的范围是-1≤x＜1，
故答案为：0，-1≤x＜1；

（4）|x-2|+|x+1|≥5
①当x＜-1时，
∵此时x-2＜0，x+1＜0，
∴|x-1|+|x+3|=-（x-2）-（x+1）=-2x-1≥5，
解的得：x≤-3；
②当-1≤x＜2时，
∵此时x-2＜0，x+1≥0，
∴|x-1|+|x+3|=-（x-2）+（x+1）=3≥5，
此时不存在；
③当x≥2时，
∵此时x-2≥0，x+1＞0，
∴|x-2|+|x+1|=（x-2）+（x+1）=2x-1≥5，
解得：x≥3；
即x≤-3或x≥3，
故答案为：x≤-3或x≥3；

（5）在探究题目的过程中，蕴含的数学思想方法有分类讨论思想，
故答案为：分类讨论思想．

点评 考查了数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A-B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离．