Question

如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为CB边上一动点，CD=BC，连接AD，CE⊥AD于点E，延长线BE交AC于点F．

（1）若n=3，则=　 　，=　 　；

（2）若n=2，求证：AF=2FC；

（3）若F为AC的中点，请直接写出n的值．

Answer 1

 

考点： 相似三角形的判定与性质． 

分析： （1）通过证明△CED∽△ACD，根据相似比即可求得CE：DE的长，同理可求得AE：DE的值．

（2）根据已知可求得△GED∽△AFE，根据相似比即可求得AF，FC的关系．

（3）要使AF=CF，必需n²=（n﹣1）：n．

解答： 解：（1）由题意得，∠DEC=∠DCA=90°，∠EDC=∠CDA，

∴△CED∽△ACD．

∴CE：DE=AC：CD．

∵AC=BC，

∴AC：CD=n=3．

∴CE：DE=3．

同理可得：AE：DE=9．

故答案为：3，9．

（2）如图，当n=2时，D为BC的中点，取BF的中点G，连接DG，

则DG=FC，DG∥FC．

∵CE⊥AD，∠ACB=90°，

∴∠ECD+∠EDC=∠CAD+∠ADC=90°．

∴∠ECD=∠CAD．

∵tan∠ECD=，tan∠CAD==，

∴==．

∵AC=BC，BC=2DC，

∴===．

∴=．

∵DG∥FA，

∴△GDE∽△FAE．

∴=．

∴DG=AF．

∵DG=FC，

∴AF=2FC．

（3）如图，∵BC=nDC，

∴DC：BC=1：n，

∴DC：AC=1：n，

∴DE：CE：AE=1：n：n²；

∴DG：AF=1：n²；

又∵DG：CF=DB：BC=（BC﹣CD）：BC=（n﹣1）：n

要使AF=CF，必需n²=n：（n﹣1），（n＞0）

∴当n=，F为AC的中点．

点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据相似三角形得出线段之间的比例关系，进而得出所求线段与n之间的关系．