Question

如图，等边三角形OBC的边长为10，点P沿O→B→C→O的方向运动，⊙P的半径为．⊙P运动一圈与△OBC的边相切　　次，每次相切时，点P到等边三角形顶点最近距离是　　．

Answer 1

6    2

考点： 直线与圆的位置关系；轨迹． 

分析： 当点P在OB上且与边OC相切时，作PH⊥OC于H，根据直线与圆相切的判定得到PH=，再根据等边三角形的性质得∠O=60°，在Rt△OPH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=PH=1，OP=2OH=2，即点P在OB，OP=2时，⊙P与边OC相切，然后利用同样的方法可得BP=2或CP=2时，⊙P与△OBC的边相切．

解答： 解：当点P在OB上且与边OC相切时，如图所示：

作PH⊥OC于H，则PH=，

∵△OBC为等边三角形，

∴∠O=60°，

在Rt△OPH中，OH=PH=1，

OP=2OH=2，

∴点P在OB，OP=2时，⊙P与边OC相切，

同理可得点P在OB，BP=2时，⊙P与边BC相切；

点P在BC，BP=2时，⊙P与边OB相切，

点P在BC，CP=2时，⊙P与边OC相切，

点P在OC，CP=2时，⊙P与边BC相切，

点P在OC，OP=2时，⊙P与边OB相切，

综上所述，⊙P运动一圈与△OBC的边相切6次，每次相切时，点P分别距离△OBC的顶点2个单位；

故答案为：6；2．

点评： 本题考查了直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了等边三角形的性质．