Question

如图，已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程．

（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．

（3）在抛物线上BC之间是否存在一点D，使得△DBC的面积最大？若存在请求出点D的坐标和△DBC的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

 

考点： 二次函数综合题． 

分析： （1）直接把点B（8，0）代入抛物线y=﹣+bx+4，求出b的值即可得出抛物线的解析式，进而可得出其对称轴方程；

（2）求出A点坐标，再由锐角三角函数的定义得出tan∠ACO=tan∠CBO，故∠ACO=∠CBO，由此可得出结论；

（3）求出BC解析式，将S_△BCD转化为DH•OB，设D（t，﹣t²+t+4），H（t，﹣t+4），面积可转化为S_△BCD=﹣（t﹣4）²+2，△DBC的最大面积为2，此时D点坐标为（4，6）．

解答： 解：（1）∵B点的坐标为B（8，0），

∴﹣16+8b+4=0，解得b=，

∴抛物线的解析式为y═﹣+x+4，

对称轴方程为x=﹣=3；

 

（2）∵由（1）知，抛物线的对称轴方程为x=3，B（8，0）

∴A（﹣2，0），C（0，4），

∴OA=2，OC=4，OB=8，

∴tan∠ACO=tan∠CBO=，

∴∠ACO=∠CBO．

∵∠AOC=∠COB=90°，

∴△AOC∽△COB．

 

（3）设BC解析式为y=kx+b，

把（8，0），（0，4）分别代入解析式得，

，解得，

解得y=﹣x+4，

作DH⊥x轴，交BC于H．

设D（t，﹣t²+t+4），H（t，﹣t+4），

S_△BCD=DH•OB=×（﹣t²+t+4+t﹣4）=﹣t²+t=﹣（t²﹣8t+4²﹣16）=﹣（t﹣4）²+2，

当t=4时，△DBC的最大面积为2，此时D点坐标为（4，6）．