Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，若BE=6，BD=6．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，设⊙O的半径，则OD=OE=r，先利用切线的性质得∠ODB=90°，则根据勾股定理得到r²+（6$\sqrt{3}$）²=（r+6）²，然后解方程即可；
（2）作OH⊥AD于D，则DH=AH，如图，在Rt△OBD中，利用正切的定义可求出∠DOB=60°，则∠AOD=120°，于是得到∠DOH=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到OH=$\frac{1}{2}$OH=3，DH=$\sqrt{3}$OH=3$\sqrt{3}$，则AD=2DH=6$\sqrt{3}$，然后根据扇形面积公式，利用S_阴影=S_扇形AOD-S_△AOD进行计算即可．

解答 解：（1）连结OD，如图，设⊙O的半径，则OD=OE=r，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
在Rt△OBD中，∵OD²+BD²=OB²，
∴r²+（6$\sqrt{3}$）²=（r+6）²，解得r=6，
∴⊙O的半径为6；
（2）作OH⊥AD于D，则DH=AH，如图，
在Rt△OBD中，∵tan∠DOB=$\frac{BD}{OD}$=$\frac{6\sqrt{3}}{6}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DOB=60°，
∴∠AOD=120°，
∵OD=OA，
∴∠DOH=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OH=3，DH=$\sqrt{3}$OH=3$\sqrt{3}$，
∴AD=2DH=6$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_扇形AOD-S_△AOD=$\frac{120•π•{6}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•6$\sqrt{3}$•3=12π-9．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决（2）小题的关键是利用扇形面积减去三角形面积得到阴影部分的面积．