Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．点E与点B在AC的同侧，且AE⊥AC．

（1）如图1，点E不与点A重合，连结CE交AB于点P．设AE=x，AP=y，求y关于x的函数解析式；

（2）是否存在点E，使△PAE与△ABC相似，若存在，求AE的长；若不存在，说明理由；

（3）如图2，过点B作BD⊥AE，垂足为D．将以点E为圆心，ED为半径的圆记为⊙E．若点C到⊙E上点的距离的最小值为8，求⊙E的半径．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）9或.

【解析】

（1）根据勾股定理求出AB的长，再根据△APE∽△BPC得出比例式，整理即可求出结果；

（2）先判断只有∠EPA=90°时，可使△PAE与△ABC相似，再证明△ABC∽△EAC，进一步根据相似三角形的性质即可求出结果；

（3）先由题意判断点C必在⊙E外部，于是点C到⊙E上点的距离的最小值为CE﹣DE，再分点E在线段AD上和线段AD的延长线上两种情况，在△AEC中根据勾股定理列出方程求解即可.

解：（1）∵AE⊥AC，∠ACB=90°，

∴AE∥BC，

∴△APE∽△BPC，

∴，

∵BC=6，AC=8，

∴AB==10，

∵AE=x，AP=y，

∴，

∴；

（2）∵∠ACB=90°，而∠PAE与∠PEA都是锐角，

∴要使△PAE与△ABC相似，只有∠EPA=90°，即CE⊥AB，

此时△ABC∽△ECA，则，∴AE=．

故存在点E，使△ABC∽△EAP，此时AE=；

（3）由题意可知点C必在⊙E外部，此时点C到⊙E上点的距离的最小值为CE﹣DE．

设AE=x．①当点E在线段AD上时，如图，ED=6﹣x，EC=6﹣x+8=14﹣x，

则在Rt△AEC中，根据勾股定理，得x2+82=（14﹣x）2，解得：x=，

即⊙E的半径为．

②当点E在线段AD延长线上时，如图，ED=x﹣6，EC=x﹣6+8=x+2，

则在Rt△AEC中，根据勾股定理，得x2+82=（x+2）2，解得：x=15，即⊙E的半径为9．

∴⊙E的半径为9或．